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1、1.集合的等势及其性质2.重要的等势或不等势结果3.集合的优势及其性质4.集合的基数(1)后继与归纳集(2)自然数,有穷集,无穷集(3)集合的基数(4)可数集第九章集合的基数基本要求:1.掌握：集合之间等势与优势的概念，等势的性质（自反性，对称性，传递性）2.掌握：证明集合等势的方法，康托定理的内容及证明方法3.掌握：自然数、自然数集、有穷集、无穷集的定义与主要性质4.掌握：集合基数的定义、基数的比较、可数集的定义与主要性质定义9.1设A，B是集合，如果存在着从A到B的双射函数，就称A和B是等势的，记作A≈B。如果A不与B等势，则记作A≉B。1)Z≈N。回顾上一节例5(3)
2、，令则f是Z到N的双射函数。从而证明了Z≈N。1.集合的等势集合的势就是度量集合所含元素多少的量。集合的势越大，所含的元素越多。约定2．等势的性质定理9.1设A，B，C是任意集合，(1)A≈A。(2)若A≈B，则B≈A。(3)若A≈B，B≈C，则A≈C。N≈Z≈Q≈N×NR≈[0,1]≈(0,1)任何的实数区间(包括开区间，闭区间以及半开半闭的区间)都与实数集合R等势。（自反性）（对称性）（传递性）1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,…2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-12n例0,1,-1,2,
3、-2,3,-3,4,-4,...f(0)=0,f(n)=2n-1,f(-n)=2n2)N×N≈N<0，0>，<0，1>，<1，0>，<0，2>，<1，1>，<2，0>，…↓↓↓↓↓↓012345设是图上的一个点N×N到N的双射函数f3)N≈Q4)(0,1)≈R不等势结果： 定理9.2(康托定理)(1)N≉R(2)对任意集合A都有A≉P(A)。2.重要的等势或不等式结果等势结果：N≈Z≈Q≈N×N任何实数区间都与实数集合R等势定理9.2(康托定理) (1)N≉R (2)对任意集合A都有A
4、≉P(A)。证明思路：(1)只需证明任何函数f:N→[0,1]都不是满射的，任取函数f:N→[0,1]，列出f的所有函数值。然后构造一个[0,1]区间的小数b，使得b与所有的函数值都不相等。(2)任取函数f:A→P(A)，构造B∈P(A)，使得B与f的任何函数值都不相等。证(1)如果能证明N≉[0,1]，就可以断定N≉R.为此只需证明任何函数f:N→[0,1]都不是满射的。对任意的x∈[0,1]，令x=0.x1x2…，0≤xi≤9考察下述两个表示式：0.24999…和0.25000…设f:N→[0,1]是从N到[0,1]的任何一个函数。如下列出f的所有函数值：f(
5、0)=0.a1(1)a2(1)…f(1)=0.a1(2)a2(2)……f(n-1)=0.a1(n)a2(n)……设y是[0,1]之中的一个小数，y的表示式为0.b1b2…，并且满足bi≠ai(i)，i=1，2，….显然y是可以构造出来的，且y与上面列出的任何一个函数值都不相等。这就推出y∉ranf，即f不是满射的(续)(2)和(1)的证明类似，我们将证明任何函数g:A→P(A)都不是满射的。设g:A→P(A)是从A到P(A)的函数，如下构造集合B：B={x
6、x∈A∧x∉g(x)}则B∈P(A)，但对任意x∈A都有x∈B⇔x∉
7、g(x)从而证明了对任意的x∈A都有B≠g(x)。即B∉rang。3.集合的优势定义9.2(1)设A，B是集合，如果存在从A到B的单射函数，就称B优势于A，记作A·B。如果B不是优势于A，则记作A·B。(2)设A，B是集合，若A·B且A≉B，则称B真优势于A，记作A≺·B。如果B不是真优势于A，则记作A·B。例如N·N，N·R，A·P(A)，R·N。又如N≺·R，A≺·P(A)，但N·N。定理9.3设A，B，C是任意的集合，则(1)A·A。(2)若A·B且B·A，则A≈B。(3)若A·B且B·C，则A·C。重要的等势或优势结
8、果N≈Z≈Q≈N×NR≈[0,1]≈(0,1)≈[a,b]≈(c,d)≈{0,1}N≈P(N){0,1}A≈P(A)N·R，A·P(A)4.集合的基数(1).后继与归纳集定义3设a为集合，称a∪{a}为a的后继，记作a+，即a+=a∪{a}。例3考虑空集的一系列后继。+=∪{}={}++={}+={}∪{{}}={,{}}={,+}+++={,{}}+={,{}}∪{{,{}}}={,{},{,{}}}={,+,++}…在空集的一系
