1.1 集合、势及其运算.doc

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1、第1章集合论与测度论1.1集合、势及其运算1.1.1集合的基本概念定义1.1.1由具有某种共同特点的个体构成的集体称为集合，（或：集，族，类，簇等）。集合中的个体称为元素。，（或：），—空集，或（或：或），.称为集与集的并集（或：和（集））；称为集与集的交集（或：通（集））；，，其中称为的指标集.定义1.1.2若（），则称集与集不相交（相交）；若的任何两个集没有公共元素，则是一个不相交的集族.定义1.1.3称为与的差（集），（读作减去，或差）.当时，称差（集）为关于的补（集）或余集；记为.当从上下文能清楚地知道是对

2、哪一个较大的集取余集时，的余集记为.称集为集与集的对称差，记为,即.注下列记号在本课程中是固定的：:全体自然数构成的集合；全体整数构成的集合；全体有理数构成的集合；全体实数构成的集合；：全体复数构成的集合.设是一个集合，用表示的所有子集构成的集合（或：的所有子集构成的集簇，或：的所有子集构成的集类），称之为的幂集（合）。1.1.2集合的运算1)；（并、交的幂等性）若，则，；2)（空集是加法的零元），3)（并的交换律）（交的交换律）4)（并的结合律）（交的结合律）设是指标集，则5);（分配律）6)；；，；（德摩根（D

3、eMongan）律）7)；8)；（“减法”分配律）9)，；10).1.1.3上限集、下限集及其他定义1.1.4设是任意一列集，称(1.1.1)为集列的上限集；它是由属于集列中无数多个集的元素的全体所组成的集合，即：.称(1.1.2)为集列的下限集；它是由属于集列中从某个指标（这个指标不是固定的，与元素有关）以后的所有集都包含的元素的全体（即除去有限多个集外的所有集所含有的元素）所组成的集合，即.定理1.1.1设是任意一列集，则，.(1.1.3)证(1)记，.往证.对，由上限集的定义，属于中无限个集，不妨设同时属于.

4、于是，对任意自然数，当时，，故，即.反之，对，往证：在中必有无限个集同时含有元素.Infact，取，因为，所以必存在自然数，使得；又因为，所以必存在自然数，使得；这样的过程一直进行下去，得到一列自然数，，而集都含有元素，因此，于是又有.综上所述，有.(2)记，.往证.对，由下限集的定义，存在自然数（与有关），当时，.于是，对，即.反之，对，往证：存在自然数，当时，.Infact，因为，所以存在自然数，使，即当时，.因此，于是又有.综上所述，有.证毕！注若从有关集本身所具有的含义去理解，等式(1.1.3)的成立是很明

5、显的。事实上，集正是命题“集列中从第号以后必有集包含它”成立的元素的全体，而是使命题“一切都包含它”成立的元素的全体。因此就是使命题“对，集列中必存在第号以后的集包含它”成立的元素的全体。显然，命题“对，集列中必存在第号以后的集包含它”和命题“集列中有无限个集包含它”等价，所以.用同样方式可以考察.※性质设是任意一列集，是任意一个集，则(1)，；(1.1.4)(2).(1.1.5)例1.1.1设（）是如下一列点集：求的上限集和下限集.解，.，，；而对，存在自然数，当时，恒有；即当时，，但.换句话说，对于开区间中的点

6、，具有充分大的奇数指标的集都含有，从而中有无限多个集含有，而充分大的偶数指标的集都不含有，即中也有无限多个集不含有.这说明，，.由.再由，得.而.再由，得.※例1.1.2设.类似于例1.1.1的讨论，立即得到.※定义1.1.4若，则称集列收敛，称为集列的极限，记为.若集列满足则称是单调增加（或单调减少）集列；单调增加和单调减少的集列统称为单调集列.性质单调集列是收敛的；且(1)若是单调增加的，则；(2)若是单调减少的，则.显然，例1.1.2中的集列就是单调减少集列，且收敛，其极限是.1.1.4映射基本概念定义1.1

7、.5设和是两个非空集，若存在一个规则，使对每个元素，按照规则，在中有一个确定的元素与对应，记为；则称是集到集（中）的一个映射（或映照，或变换）。元素称为元素（在映射下）的象，记作；对任一个固定的，称满足关系的的全体为（在映射下）的原象，记作，即.的定义域是，记为；的值域是，记为.将集到集的映射也记为.若及，则称为（在映射下）的象；称为（在映射下）的原象（或逆象）。注1特别地，若是一个数集（实数集或复数），则映射就是定义在集上的函数；若，都是数集，则映射就是数学分析中所研究的函数。由此可见，映射的概念就是函数概念的推

8、广.注2对来说，即使，但也可能是空集。定义1.1.6设和是两个非空集，是集到集的一个映射.若，则称是到上的映射（或称是到的满射，或把映射到上）。对每一个，我们习惯上用代替.对每一个，若至多由一点组成，则称是可逆映射（或单（映）射，或一对一的映射）。换言之，若对中任意两个元素，当时，必有，则就是可逆映射。若是可逆映射，则也是一个映射，称为到的逆映射（或逆映照）