§1.1集合与集合的运算

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1、第一章　集合与简易逻辑§1.1　集合与集合的运算知识诠释　　思维发散一、集合的含义与表示1.集合是一个不能定义的原始概念,描述性定义为:某些指定的对象的全体就成为一个集合,简称集.集合中的每一个对象叫做这个集合的元素;集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征.2.集合的常用表示方法:列举法、描述法和韦恩图法.3.元素与集合的关系:元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用∈和∉来表示;但是要注意元素与集合是相对而言的.4.集合的分类:集合可分为有限集、无限集.二、集合与集合的关系1.子集:若集合A中的任意一个元素都是集合B中的元

2、素,就说集合A包含于集合B(或集合B包含集合A),记作A⊆B(或B⊇A).2.相等:若集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,同时集合B中的任意一个元素都是集合A中的元素,就说集合A等于集合B,记作A=B.3.真子集:如果A是B的子集,并且B中至少存在一个元素不是A中的元素,就说集合A是集合B的真子集,记作A⫋B.4.若集合A含有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.5.空集(⌀)是一个特殊而又重要的集合,它不含任何元素,⌀是任何集合的子集,⌀是任何非空集合的真子集,解题时不可忽视⌀.三、集合的运算

3、及性质1.交集:由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,叫做集合A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x

4、x∈A且x∈B}.2.并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫做集合A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x

5、x∈A或x∈B}.3.补集:集合A是集合S的子集,由S中的所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集,记作SA,即SA={x

6、x∈S且x∉A}.4.A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A.5.A∩UA=⌀,A∪UA=U,U(UA)=A.6.U(A∪B)=(U

7、A)∩(UB),U(A∩B)=(UA)∪(UB).7.A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B,A⊆B且B⊆C⇒A⊆C.1.已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为(　    )(A)1.　　　(B)4.　　　(C)1或4.　　    (D)36.【解析】依题意x2-5x=-4,即x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.【答案】C2.已知全集U=R,A={x

8、

9、x

10、<2},B={x

11、x2-4x+3>0},则A∩(UB)等于(　    )(A){x

12、1≤x<3}.　    (B){x

13、-2≤x<1}.(C){x

14、1≤x

15、<2}.　    (D){x

16、-2

17、-2

18、1≤x≤3},A∩(UB)={x

19、1≤x<2}.【答案】C3.已知集合A={-1,2},B={x

20、mx+1=0},若A∪B=A,则m的值为.【解析】∵A∪B=A,∴B⊆A.当B=⌀时,m=0,符合题意;当B≠⌀时,m≠0,此时x=-,∵B⊆A,∴-=-1或-=2,∴m=1或m=-.综上可知,m的取值为0,1,-.【答案】0,1,-核心突围　　技能聚合题型1　集合的基本概念例1    (1)定义集合A*B={x

21、x=ab,a∈A,b∈B},设A={

22、1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为(　    )(A)0.　　　    (B)2.　　　    (C)3.　　　    (D)6.(2)已知集合A={x

23、ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,则实数a的取值范围是.【分析】(1)按照新的定义,先确定集合A*B中的元素,然后求出该集合中所有元素之和.(2)集合A是方程ax2-3x-4=0的解集,A中至多有一个元素,则a≠0时,应有Δ≤0;a=0时,恰有一个元素.【解析】(1)依据A*B的定义,当A={1,2},B={0,2}时,A*B={0,2,4},因

24、此A*B中所有元素之和为6.(2)当a=0时,A={-};当a≠0时,关于x的方程ax2-3x-4=0应有两个相等的实数根或无实数根,∴Δ=9+16a≤0,即a≤-.故所求的a的取值范围是a≤-或a=0.【答案】(1)D    (2)a≤-或a=0【点评】(1)新定义问题属信息迁移题,解决的关键是紧扣给出的新定义,按定义要求进行判断或运算,此类题目对能力要求较高.(2)在处理含参一元二次方程的根的问题时,若二次项系数含参量,则不能忽略二次项系数为0的情况.变式训练1　已知a、b、c为非零实数,代数式+++的值所组成的集合为M,则M=.【

25、解析】a、b、c皆为负数时,代数式的值为-4;a、b、c二负一正时,代数式的值为0;a、b、c一负二正时,代数式的值为0;a、b、c皆为正数时,代数式的值为4.∴M={-4,0,4}.【答案】{-4,0,4