集合的映射和势.ppt

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1、第二章函数的连续性§2.1集合的映射一、映射定义1.定义2.两要素①②3.常用术语定义域，值域二、映射的分类⒈相等⒉满射⒊单射⒋一一对应⒌恒等映射甲乙丙一一对应（单射且满射）甲乙丙g三、逆映射与复合映射⒈逆映射⒉复合映射⒊复合映射的运算规律结合律?交换律?⒋可逆映射与恒等映射的关系§2.2集合的势——“有相同的势”一、⒉等价关系满足自反性：对称性：传递性：⒊利用等价关系可以对集合进行分类——“等价类”,“势是一种相同的特征”.二、数集的分类⒈有限集对于两个有限集A和B，A与B有相等的势的充分必要条件是他们的元素个数相同.而对于无限集，我们通过一一对应映射来判断势

2、是否相等.例1：设A是整数的集合，则A是可数的.证明：把A排列成：0,1,-1,2,-2,3,-3,…,考虑从到A的一个一一映射：例2：证明(0,1)与[0,1]有相同的势.证明：考虑从[0,1]到(0,1)的一个一一映射：在例1和例2中，A和[0,1]这两个无限集都与他们的真子集有相同的势.而对于有限集，由于“元素的个数相同”，这是不可能的。三、势的常识定理2.1：可数集A的任意无限子集是可数集.证明：设E是A任一无限子集.A是可数的，因此可以将A排列成按照如下方式构造数列：令是最小的正整数使得.当选定之后，令是大于的最小正整数使得.这样，便得到一个映射.具体地，

3、定理2.2：---至多可数集列,则(可数集的可列并是可数集)证明：设对于，考虑如下的无穷陈列：这个陈列包含S中的所有元素.按照箭头所指示的那样，这些元素可以拍成一行：显然，这一行的元素至多可数个.当两个集合和有公共的元素时，对那些重复的元素只保留第一次遇到的那一个，剔除其他相同的元素，仍然得到并集S.由此可知，S至多可数.证明：先证明[0,1)中全体有理数是可数的.显然，下面的排列：穷尽了[0,1)中的有理数.把上述数从左到右重新排列成一行：定理2.3：中全体有理数是可数的.然后剔除重复的数，得到的可数集就是[0,1)中的有理数的全体.很显然，当有理数，对任意整数n

4、，映射是[0,1)中的有理数同[n,n+1)中的有理数之间的一一对应，因此[n,n+1)中的全体有理数也是可数的.由于R中有理数可以表示成依定理2.2，R中全体有理数是可数的.定理2.4：[0，1]上的全体实数是不可数的证明：反证法“用Cantor三分法+闭区间套定理”另证：反证法.若[0,1]上实数可数，则[0,1)上实数也可数.将[0,1)排成把写成10进制小数的形式：考虑其中显然作业习题2.11；2；3.