1、集合的基本性质

《1、集合的基本性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、写字母a,b,c,x,y,z等表示集合的元素。常用的特殊集合用专门的记号，如用英文大写黑体字母N,Z,Q和R分别表示自然数、整第一章集合的基本性质数、有理数和实数。1.1.3定义属于a是A的元素称为a属于A，记为a∈A，a不是A的元素称为a不属于A，记为a∉A。∈称为属于关系。为了简便起见，将a∈A且b∈A简记为a,b∈A。更一般地，1.1集合的概念将a1∈A,⋯,an∈A简记为a1,⋯,an∈A。以下是属于关系的几个例子。在日常生活中，在逻辑、数学以及其它科学的研究中，我们1.1.4例金星∈太阳系的行星。月亮∉太阳系的行星。1.1.5例3∈N，2∈Q，2∈R。2∉N，

2、2∉Q。经常遇到一类对象，这类对象是某些东西的总体。例如人类这个33概念的外延就是所有具体的人的总体，动物这个概念的外延就是集合由它的元素惟一确定，不涉及其他因素。因此要描述一所有具体的动物的总体，又如自然数、整数、实数都是具有某种个集合，只要描述这个集合的元素就行了。有两种描述集合的方性质的数的总体，三角形、正方形、多边形都是某种几何图形的法，一种是列举集合的所有元素，用{a1,⋯,an}表示，如太阳系的总体。把这类对象最一般的性质抽象出来就是集合。行星可表示为集合，简单地说就是一堆东西的总体，其中每个东西称为这{水星,金星,地球,火星,木星,土星,天王星,海王星,冥

3、王星},个集合的元素，这样的集合概念是素朴的和直观的，我们可以通又如过对具体集合的认识和对集合性质的讨论来加深对它理解。{真,假}、{李白,杜甫}、{1,2}、{0,1,⋯,n−1}以后在使用人类、动物等概念时、总是将它们当作集合来看等。另一种是刻画集合中元素的性质，用{x

4、x有性质φ}来表示，待。除了以上提到的集合外，我们再来看几个例子。如1.1.1例太阳系的行星是水星、金星、地球、火星、木星、{x

5、x∈Z且x≤0}、{x

6、x2−3x+2=0}土星、天王星、海王星、冥王星的总体。等。1.1.2例书，纸，笔分别是所有具体的书，所有具体的纸和集合是个很一般的概念。任何东西

7、都能放在一起作为一堆东所有具体的笔的总体。西，所以组成集合的元素没有任何限制。集合的元素本身可以还我们将什么东西都没有也看做一堆东西的总体，从而它就是是一个集合，如在集合一个集合。这样的集合称为空集。{书,纸,笔}有的集合只有一个元素，但这个集合和它惟一的的元素是不中，元素书、纸、笔也是集合。集合的元素可以是具体的，如同的。这个元素只是一个东西，而这个集合是一堆东西的总体，{金星,水星}、{李白,杜甫}只不过这堆东西只有一个。如地球的卫星是一个集合，它只有一等，也可以是抽象的，如个元素月亮。地球的卫星和月亮是不同的。{真,假}，{1,2}以后一般用英文大写字母A,B,C

8、,X,Y,Z表示集合，用英文小12等。甚至在一个集合中，可以有些元素是具体的，有些元素是抽集合和它的描述方法无关。如象的，如{金星,水星}={x

9、x是离太阳比地球离太阳近的行星},2{1,2,金星,水星}、{李白,杜甫,真,假}{1,2}={x

10、x−3x+2=0}，等。集合和它的某些元素可以组成新的集合，如N={x

11、x∈Z且x≥0}{1,{1,2,3}}，{金星,水星,太阳系的行星}等。在列举集合元素时和次序无关，如等。{0,1,2}={2,0,1}，每个集合都有确定的元素，但刻画集合的确定性并不一定需{金星,水星}={水星,金星}要知道它们的元素。集合的确定性表现在：

12、等。也和重复列举无关，如任何一个东西是或者不是这个集合的元素，但不能{书,纸,笔}={书,纸,笔,纸}，既是又不是这个集合的元素。{1,2,1,3,2}={1,2,3}这样，对于属于与不属于来说就有：等。任给x，并非x∈A当且仅当x∉A。如果两个集合都没有元素，则它们就有同样的元素。这就是从集合的确定性要求看，日常生活中使用的某些概念不能简说任何空集都相等，实际上只有一个空集，以后将这惟一的空集单地看作集合的，如青年、新鲜的苹果等。如果需要将这样的概记为∅。念作为集合来使用，必须给它们划出明确的界限。如果A≠∅，则称A是非空集合。1.1.6定义集合的相等A和B有同样的元

13、素称为A和B相等，记为A=B。因为集合由它的元素惟一确定，所以两个集合习题1.1相等就是说它们是同一个集合。如果A=B，则x是A的元素当且仅当x是B的元素。如果x1.1.1判断下列元素是否属于所指集合。是A的元素当且仅当x是B的元素，则A和B就有同样的元素，(1)哈尔滨，北京，东京，浙江。集合是中国的城市。所以A=B。(2)1，2，{1,2}，{1,2,3}。集合是{1,{1,2,3}}。因此可以用属于关系将A=B表示为：(3)地球，哈雷彗星，北极星，天王星。集合分别是恒星，任给x，x∈A当且仅当x∈B。太阳系的行星，太阳系的天体。由“当