浅谈集合的性质及其应用

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1、浅谈集合的性质及其应用马关县第一中学罗荣建邮编：663700电话：13577657218集合是数学的原始概念之一，即集合是没有精确定义的概念，对集合只能作描述性的说明，一般地，我们把具有某种属性（指定）的一些对象的全体称之为集合，也简称集。集合中的每一个考察对象叫做集合中的元素。由这一描述性的定义，我们可以得到集合的两个重要特性，即集合中元素的确定性和无序性，在后面求集合的并集过程中，为简化集合，我们约定：集合中的元素还有另一个重要特性，即集合屮元素的互异性。学习集合，我们一定要弄清楚集合中元素的三个性质：（1）确定性，集合中的元素，一定是确定的。也就是说，对于

2、任一集合A和任一对象（元素）a,必定能判定这一对象a是A中的元素或者不是A中的元素，即aGA或者a曲，二者必居其一，其只居其一。（2）无序性，集合中的元素无顺序关系，例如集合｛a.b.c｝和集合｛c.b.a｝只能看作同一集合。（3）互异性，集合中的元素应该是互不相同的，例如方程（x+2）2（X—1）=0的解集只能表为｛-2,1｝,不能表为｛-2,-2,1｝,重根-2在集合屮只能算做•个元素。集合的三个性质，为我们判断某些对象能否构成集合，或者为解决某些数学问题奠定了基石。现举例说明，怎样运用集合的三大性质解题。例1、判断下列考察对象能否构成集合①不大于5的自然数

3、；②方程

4、X

5、-1=0的根；③一元二次不等式x2-x-2^0的解；④某班漂亮的女生；⑤高一年级高1.6米的男生；⑥学生的学习用品圆规、直尺、三角板、铅笔；⑦我国的小河流；⑧世界上最高的山峰。解：①考察对象“不大于5的自然数”能构成集合。即｛xGN

6、xW5｝。②考察对象“方程

7、X

8、-1=0的根”能构成集合。即｛-1,1｝。③考察对象“x?-x-2W0的解”能构成集合。即｛x

9、-1WxW2｝.④考察对象“某班漂亮的女生”不能构成集合。⑤考察对象“高一年级高1.6米的男生考察对象”能构成集合。即｛高一年级高1.6米的男生｝o⑥考察对象“圆规、直尺、三角板、铅笔”能构成

10、集合。即｛圆规，直尺，三角板，铅笔｝。⑦考察对象“我国的小河流”不能构成集合。⑧考察对象“世界上最高的山峰”能构成集合，即｛珠穆朗玛峰｝。点评：判断考察的对象能否构成集合，就是要看被考察的对象是否满足集合性质的确定性，“确定”二字非常重要，应把握好。另外，还要明确，集合里的元素可以是数、代数式或者是图形，也可以是物等。例2、已知xWz,不等式x2—x一2W0的解满足avbvcvd,它的解集可表为：{a,b,c,d},则a+c与b+d的大小关系式为（）。A.a+cb+d,D.a+c与b+d的人小关系不能确定。解：根据集合的

11、性质，容易选D。点评：如果对集合元素的无序性熟悉，本题就是一个一望而解的题。题设a

12、={—1,1,x},由集合元素的互异性知，xH—1且xHl,再由集合元素的无序性知，两个集合相等，集合中的元素，应该是一一对应的，由此，X3—X2—X=-1,或X3—X2—X=1或X3—X2—X=Xo先解X3—X2—x=x（为什么？请读者思考）。因为xHO,所以X2—X—1=1,解这个方程x=2或x=—1。x=—1与xH—1相矛盾，应舍去，所以x=2。把x=2分别代入x3-2x2-1,—求得它们的值为一1,1。由集合元素的确定性知，B={—1,1,2},而A二{—1,1,2},即集合A与集合B相等。所以当集合A与集合B相等时，x应满足的一个条件是x=2o点评：因

13、为本题只需求X应满足的一个条件，根据题意，应用集合元素的无序性，先解方程x3-x2-x=x,确定x的值，再把x的值代入B中的代数式，进一步确定B中的元素，解题的切入口较好，避免了繁杂的讨论。元素的互异性对解题很有帮助，应引起关注。初入门，对性质的学习认识一定要到位，要做到完整全面地把握性质，准确运用性质答题，平时学习要养成良好的认知习惯。