第五章 方差分析

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1、第五章方差分析三峡大学化学与生命科学学院1西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.1方差分析的概念和基本原理5.1.1自由度和平方和的分解5.1.2F分布与F测验三峡大学化学与生命科学学院2西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作上章介绍了一个或两个样本平均数的假设测验方法。本章将介绍k(k≥3)个样本平均数的假设测验方法，即方差分析(analysisofvariance)。这种方法的基本特点是：将所有k个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自由度和平方和分解为不同变异来源的自由

2、度和平方和，进而获得不同变异来源的总体方差估计值。3西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作其中，扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异提供了试验误差的无偏估计，作为假设测验的依据。三峡大学化学与生命科学学院多组数据平均数之间的差异显著性则需要通过方差分析来完成，方差分析可以同时推断多组数据平均数之间的差异显著性，即检验假设H0:u1=u2=…..=ua。方差分析是推断多组数据平均数之间差异显著性的一种统计方法，它是u检验或t检验的扩展。方差分析分为单因素方差分析和多因素方差分析。4西南科技大学生命科

3、学与工程学院周海廷制作（一）实验因素：需要在实验中加以考察的因素称为实验因素。（二）水平：实验因素按照质或量的不同所划分的若干个等级称为水平。每一个等级称为一个水平。（举例）只考察一个因素的实验称为单因素实验；同时考察两个或两个以上因素的实验称为多因素实验三峡大学化学与生命科学学院5西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.1.1自由度和平方和的分解方差是平方和除以自由度的商。要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先必须将总自由度和总平方和分解为各个变异来源的相应部分。因此，自由度和平

4、方和的分解是方差分析的第一步。下面我们首先用一个例子来说明这一问题。三峡大学化学与生命科学学院6西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作[例5.1]以A、B、C、D4种药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理各得4个苗高观察值(cm)，试分解其自由度和平方和。药剂苗高观察值总和Ti平均数A182120137218B202426229223C101517145614D2827293211629T=336=21三峡大学化学与生命科学学院7西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作1、总变异把表中的全部观察值作为一

5、个组看待[即把4个处理(4组、每组有4个观察值)合并成一组，共有24个观察值]，根据前面讲过的计算平方和的公式，可以计算出总变异的平方和和自由度三峡大学化学与生命科学学院8西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作自由度DFT=nk-1=4×4-1=15。表中的每一个观察值，即包括有处理的效应(不同药剂对苗高的影响)又受到误差的影响。其中：称为矫正数，用C表示。三峡大学化学与生命科学学院9西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作2、误差效应表中处理内(组内)各观察值之间，若不存在误差，则各观察值应该相等，由

6、于误差是客观存在的，因而处理内(组内)各观察值之间必然是有差异的，因此，可以用组内(处理内)的差异度量误差效应：三峡大学化学与生命科学学院10西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作药剂A内：药剂B内：药剂C内：药剂D内：三峡大学化学与生命科学学院11西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作从理论上讲，这4个误差平方和除以相应的自由度得的误差均方都可以作为总体误差方差的无偏估计值。但是，用它们的加权平均值来估计总体误差方差，则效果更佳。所以：每个组内(处理内)的自由度为：n-1=4-1=3,三峡大学化学与

7、生命科学学院12西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作所以误差的自由度为：DFe=k(n-1)=4(4-1)=123、处理效应如果没有处理效应，表中各个处理(组)平均数来度量处理效应。从理论上讲均应该相等，因此可以用三峡大学化学与生命科学学院13西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作需要注意的是，系样本平均数的方差，为了进行正确的F测验，必须使它们都是估的估值，而则是是的估值。。因而，处理(组间)平方和计同一参数应为：三峡大学化学与生命科学学院14西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作三峡大学化学与

8、生命科学学院15西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作本例中平方和：602=504+98自由度：15=3+12因此误差平方和可以采用简单的办法计算SSe=SST-SSt=602-504=98。进而可得均方：三峡大学化学与生命科学学院16西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作平方和与自由度的分解归纳为下表变异来源DFSSMS处理间(组间)k-1MSt误差(组内)k(n-1)MSe总变异kn-1将上述例子推广到一般，设有k组数