第五章 方差分析

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1、第五章方差分析统计假设测验只适用于单个样本或两个样本。当样本个数k≥3时，则需要采用另一种统计分析方法，即方差分析。第一节方差分析基础(基本原理)假设有k个样本(组),每个组(样本)有n个观察值，则经过初步整理的数据形式如表5.1。表5.1k×n数据结构表组别(样本)观察值和平均123…j…n1……2……3………………………………i………………………………k……一、自由度和平方和的分解∵(平均数的第一条性质)∴同理有：-84-以上各式等号左右两边分别相加，得：上式一般表示为：其中表示总平方和，由观察值之间的差异而引起的变异；表示组间平方和或样本间平方和，是由组间

2、或样本间的不同而引起的变异；表示组内平方和，是由相同的组或样本内的不同观察值间的差异而引起的变异，由于相同的组或样本处于相同的条件下，因此组内平方和实际上表示由随机误差引起的变异，所以组内平方和又称误差平方和。这种将总的平方和分解成组间平方和与误差平方和的过程和方法称为平方和的分解，随着变异来源的进一步增加，还可以分解成不同的部分。在平方和的分解式子中，各部分的计算公式如下：-84-则需要指出的是，在组间平方和中除了组间固有的差异引起的变异外，还包含有随机误差引起的变异在内。与平方和的分解相对应，自由度也分解成相应的部分，即：，其中，，而。平方和和自由度分解的目

3、的是为了计算相应的均方，根据南均方的概念和定义，即有：，，，其中表示总的变异程度大小，也可用表示；一般表示由处理效应和随机误差共同引起的变异程度大小，也可用表示；表示单纯由随机误差引起的变异程度大小，也可表示。例5.1设有三个葡萄品种，随机抽样，每品种各测定5株的单株果重，问品种间的单株果重有无显著差异？-84-表5.1.1葡萄不同品种单株果重(㎏)品种单株果重和平均甲1161286438.6乙12162113167815.6丙1312836428.416310.9解：(1)自由度和平方和的分解二、F测验在一个平均数为μ，方差为σ2的正态总体中，随机抽取两个独立

4、样本，分别求得其均方和，将和的比值定义为F，即：此F值具有的自由度df1和的自由度df2。如果在给定的df1和df2下按上述方法从正态总体中进行一系列抽样，就可得到一系列的F值而构成一个F分布。其分布曲线如图5.1：-84-从图5.1中可以看出，F分布具有如下特征：1.F分布是具有平均数和取值区间为[0,∞]的一组曲线；2.F分布某一特定曲线的形状仅决定于参数和；3.在或时，曲线呈反向J型，而，曲线呈偏态。F分布某一特定区间的概率可以从统计表中查出。从本课程教材P361附表5中可以查出在α=0.05和α=0.01的F临界值(需注意的是，附表5属一尾概率表)。在试

5、验结果中，由于处理间均方内还包含有部分误差均方所引起变异，总体方差也一样，因此只有处理间总体方差大于误差总体方差时才能确定处理间有真实差异存在。要判断处理间有没有真实差异，需要经过F测验(，)来确定。，然后根据dft和dfe查F临界值表得F0.05和F0.01，然后进行比较。当F≥F0.01时，表示处理间方差极显著大于误差方差，此时处理间有极显著差异存在,此时在F值的右上角标上两个“*”；当F0.01>F≥F0.05时，表示处理间方差显著大于误差方差，处理间有显著差异存在，此时在F值的右上角标上一个“*”；当F

6、没有显著差异，即处理间的差异完全由随机误差所引起，此时在F值的右上角不标任何符号。根据比较结果，一般要求列出方差分析表，其基本形式如下表。表5.2×××方差分析表变异来源平方和自由度均方FF0.05F0.01样本间FF0.05F0.01误差-84-例如例5.1的F测验如下：(2)F测验表5.1.2葡萄不同品种单株果重方差分析表变异来源SSdfs2FF0.05F0.01品种间168.1333284.0676.74*3.896.93误差149.60001212.467结果表明，不同品种间的单株果重有显著差异。当F测验有显著或极显著差异时，仅表示样本(处理)间在整体上

7、有差异，但这种差异到底来自于哪些样本(处理)间，在此并不清楚，需要进行多重比较以明确产生差异的具体原因。三、多重比较即样本(处理)间的两两比较，其目的是分析样本(处理)间产生差异的具体原因。(一)、最小显著差数法(LSD法)最小显著差数法的实质是t测验，其测验步骤如下：1.计算平均数差数标准误当时，则2.计算最小显著差数()当时接受HA，即-84-则，即其中tα通过误差自由度dfe查附表4获得。3.进行平均数差数的比较按样本(处理)平均数从大到小排列，列梯形表计算平均数差数的绝对值，然后分别以和为标准进行比较。当时，表明两个样本(处理)间差异极显著，在相应差值的

8、右上角标上两个“*”；当