解析几何与应用结合、立体几何考前题

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1、一、解析几何与应用结合（6个题）题1：（2011年深圳高三市一模文科数学）（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD缺损一角（图屮的阴影部分），边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点0为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF,可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值.解法一：以O为原点，直线AD为），轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC的方程为y=ax

2、,a=—41"故边缘线OC的方程为y=-x2(0

3、=—丄尸+/+],8分4444设梯形ABEF的面积为S(/),则S(t)=^-AB-\AF

4、+

5、B£

6、]=(1—1产)+(一,+/+1)=一J+『+22L」44

7、2=--(r-l)2+-<-10分222・••当r=1时,S(z)2故S(t)的最大值为2.5.此时

8、AF=0.75JBE

9、=1.7511分答：当AF=0J5m,BE=1.75r时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为12分2.5m2解法二：以A为原点，直线AD为y轴，建立如所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC的方稈y=ax2+l(0

10、1°・・・直线EF的的方程可表示为y-一r2-l=-r(x-r),即y=-tx一一r2+l,...6分要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切，设切点坐标4224由此可求得E(2,r--z2+1),F(0,--r2+1).441919AF=——BE=——t2+t+l,7分44设梯形ABEF的面积为5(0,则S(/)=-

11、AB

12、-[

13、AF

14、+

15、BE

16、]二(1一丄尸)+(一丄尸+f+i)=一丄尸+/+224421()分=-

17、(r-l)2+

18、<

19、.222.•.当/=1时，s(z)2故S(r)的

20、最大值为2.5.此时

21、AF

22、=0-75JBE

23、=1.7511分答：当AF=075m,BE=1.75m时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为12分2.5m2.题2：（2011•福州市模拟題）如图4所示•现选定在以O心，2km为半径的弧MN上的某一点P处为校址•已知A是两个相距为2km的工厂•点O为AB的中点.其中图4MA丄AB.NB丄AB.据环境监测部门测定•该学校受工厂A的••噪音彬响度”与距离AP的平方成反比•比例系数为h受工厂B的”噪音影响度”与距离HP的平方成反比•比例系数为4•设受两个「厂的噪音影响度之和为

24、y.AP=Tkm.（门求噪音影响度之和y关于才的函数关系式•并求岀函数的定义域：（2）当AP为多少时•噪音影响度之和最小.解析（1）如图OP■设ZAOP=_则有守Wa5.连接图5在AAOP中•由余弦定理得K=r+22-2XlX2cosa=5—4cosai在/SBOP中•由余弦定理得BP2=12+22-2X1X2cos(k—a)=5+4cosa・所以BP?=10—+・则，二缶+壽二410—x2因为■扌竽.所以—WcosaW.则3W5—4cosaW7■即箱

25、]题3：、1—°/lO-x1.4F_9彳历（5+2丿一•币二亍丿—帀・当且仅当匹亩=黑F即”=畔时x10—x3取等号•此时工=晋€[“・何・所以当AP为警km时•噪音影响度之和最小.申4/Oil•晝庆市樓拟题殛厌所示•为丰富某公寓内的居民生活.决定在以公寓E和F分别为左、右焦点的桶圆上选取一点P作为居民的娱乐中4>・已知E与F相距2km・该椭圆的离心率为寺■其娱乐中心对公寓内居民的够响与所选地点到公寓E与F的距离有关，总影响度为对公寓E与F的影响度之和•设P到E的距离为工km•娱乐中心对E和F的总形响度为，•统计表明•

26、娱乐中心产生的噪音与所选地点到公寓距离的平方成反比•比例系数都为八娱乐中心选在椭圆左顶点处的总影响度为0.2.完成如下问题（本题将公寓和娱乐中心都看做一个点）.（1）将，表示成z的函数$（2）椭圆上是否有一点P使娱乐中心对E和F的总影响度最小？若存在■求出该点到公寓E的距离，若不存在，请说明理由.解析（1）由题知=2