数形结合在解析几何中的应用

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1、数形结合思想在高中解析几何中的应用广南一中第一中学（冯桂花）解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，是由法国著名数学家笛卡尔和费马共同创立的。由于解析几何中蕴涵有丰富的数学思想方法，对研究数学及其他自然科学时有很重要的作用。国内同行对解析几何中数学思想方法的教学研究较多，但这些研究大多只在理论上阐述了在解析几何中数学思想方法的重要性和必要性等问题，或者指出解析几何中蕴含的几种数学思想方法。缺少在教学中加强对学生数学思想方法的培养，没有很好地体现新课程标准的要求；其次缺少对蕴含在解析几何课程中的核心思想方法的研究。本文拟通过

2、案例分析法、文献分析法、理论分析法对这一这一部分内容教学提供有力依据。1数形结合思想在高中新教材解析几何部分的重要地位1.1数形结合的思想方法是贯穿于解析几何部分全部知识的核心数学思想方法解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，最根本的做法就是设法把平面的几何结构有系统的代数化、数量化。即在平面中建立了坐标系，把平面内的点与有序数组建立起一一对应的关系，因而平面内的一条曲线可以由带两个变量的一个方程表示，也即实现了曲线的“代数化”。这样，几何问题就可以用代数形式表示，在求解析几何问题时，就可以运用代数方法进行研究。其过程

3、可表示为：几何问题而数形结合的基本思想是：在研究问题的过程中，注意把数形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化、形象化，抽象问题具体化，直观问题深刻化，从而使问题得到正确有效的解决。因此，数形结合的思想方法是解析几何的一个核心思想方法，是统领解析几何知识结构的一根主要红线。我国著名数学家华罗庚先生曾对数形结合思想做过深刻而彻底的阐述：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。并风趣地教导人们，千万不要“得意忘形”。实际上，解析几何沟通了数学

4、内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系，几何的概念得以用代数方法表示，几何目标得以用代数方法达到，反之，代数语言可得到几何解释而变得直观、易懂。因此，解析几何是数形结合的典范，数形结合思想方法是贯穿于解析几何全部知识的核心数学思想方法。1.2《课程标准》要求教师要加强对学生数学思想方法的培养在新课程标准中提出了“解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数的方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线与圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位

5、置关系，并了解直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。而新课程标准对教师的要求是在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。《课课程标准》要求教师要加强对学生数学思想方法的培养，这就要求我们在学习过程中，应当注重对数学思想方法的认识和研究，力求能够熟练地运用数学思想方

6、法去分析问题和解决问题。数学思想方法是一种重要的数学基础知识，在数学学习中，特别是在将来的实际工作中，掌握一定的数学思想方法远比掌握一般的数学知识要有用得多。另外，高中解析几何以解析几何的基本内容和思想为背景材料，在整个初等数学中占据非常重要的作用和地位。它充分体现了数形结合的数学思想。并且在解决相关问题是还须用到初等数学的许多其它的思想方法，如函数、化归、方程、分类、变换、参数等，所以它具有培养学生综合能力的功效。而在本次高中数学课程改革中，新教材将解析几何部分分成了两块，必修中平面解析几何，选修系列1与选修系列2中的圆锥

7、曲线与方程。新课标中的内容进一步体现数形结合的思想，新教材解析几何部分内容是分层设计的，体现了新课程的基础性与选择性；新教材在内容上要求上更注重知识的发展过程，强调其几何背景；在内容安排上更换好地体现了解析几何的本质，渗透了数形结合的思想，内容处理上符合学生的认知规律，更好地利用信息技术。新教材解析几何部分总课时（共18课时）减少，难度增加。因此，要求教师在教学过程中加强对学生数学思想方法的培养是非常必要的。2解析几何知识结构中数形结合思想方法的研究工具及呈现方式2.1数形结合的开始向量代数和平面直角坐标系是数形结合的开始，

8、在这一部份内容中研究数形结合的工具是向量和坐标系。在向量代数中，数形结合主要体现为：向量及其运算实现了几何结构代数化，实现了几何问题与向量问题的相互转化。向量具有数的特征（大小或模），又有形的特点（方向）。其表达式既可以是字母（数），又可以是有向线段（形），特别是对向量最原始的运算“加法”