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《201考前立体几何三题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.（本小题满分14分）（惠州市09届第三次调研数学试题）如图，已知正三棱柱ABC-A}B}G的底面边氏是2,D是侧棱CG的屮点，直线AD与侧面BB,C,C所成的角为45。.（1）求此正三棱柱的侧棱长；（2）求二面角A-BD-C的正切值;（3）求点C到平面ABD的距离.1・（本小题满分14分）（1）设正三棱柱ABC-A^C,的侧棱长为兀.取BC中点E,连结AE.VAABC是正三角形，AAE丄BC.2分又底而ABC丄侧面BBCC,且交线为BC,・・・AE丄侧面BBQC.连结,在RtAAED屮，tan45°=则直线AD与侧面BBCC所成的角为Z4DE=45°2迈.(2)过E作EF
2、丄BD于F,连结AF,VAE丄侧BB}C}C,:.AF丄BD.A-BD-C的平EF=BEsinZEBF6分CDV2乂BE=l,sinZEBFBD:.EF=匣，又=3:馅•…8分在RtAAEF中,tanZAFE"3.EFZAFE为二面角故二面角A-BD-C的正切值为3.面角•在RtBEF中9分（3）由（2）可知，3D丄平TMAEF,•••平^AEF丄平ABD,且交线为AF,•:过E作EG丄4F于G,则EG丄平面ABD.在RtAEF中,EG=AEEFAF{（舲）2+（丰）2730lo~12分・・・E为BC中点,・・・点C到平面ABD的距离为2EGV3014分（注：（2）、（3
3、）也可用向量法求解，（3）还可以用等体积法）2.(本题满分14分)如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3,DC=,PD二BC二迥,A为PB边上一点,且PA=1,将APAD沿AD折起，使平面PAD丄平面ABCD.(I)求证：CQ丄平面PAD,(II)若M为PB的中点，试求异面直线AM和BC所成的角的余弦值.(III)试问：在侧棱PB上是否存在一点Q,使截面AQC把几何体分成的两部分的体积之比匕mc=7:2?若存在，请求PQ的长；若不存在，请说明理由•8分(I)证明：依题意知PA=1,PD=y[2:.AD丄AB,又CD//AB:.CD丄4D又•・•平WiPAD丄平面ABCD,平面
4、PADQ平面ABCD=AD,CD丄平面PAD4分(II)如图，把四棱锥P-ABCD补成一个长方体，其中C,G分别为所在棱的中点，则易得AM//DF,DG//CB,所以ZFDG就是异而直线AM和BC所成的角6分连结FG,在4GBE中，GE二+BE?二VTTT二近,在4GEF中，FG=yjGE2+EF2=V2TT=^3,在AFDG中，DG二GE二近,==逅,由余弦定理可得：DF2+DG2-FG25+2-32V10cosZFDG==7==—(==2DFDG2-V5-V2VlO5所以异面直线AM和BC所成的角的余弦值为迈5(III)解：假设在侧棱PB上存在一点Q,满足条件•/77
5、=7*2•yPDCQA•VQACB1-厶.2•*^Q-ACB~§Vp_ABCD丨】分又由ZPAD=ZDAB=90°PA丄平面ABCD,又I13Sabcd=3(8+AB)AD=〒(1+2)J=],S^ABC=1.设Q到平面ABCD的距离为/z,贝912分14分1;o214e;2Sarcd231評$沁芍•亍".九⑺”芍•專芍2=3又・.・_L=些，.••型=丄故PQ=?PB=?亦.…PABPBP333另解：(I)由ZPAD=ZDAB=90°知PA丄平面ABCD,如图，分别以AD,AB.AP所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系-xyz,则易得各点的坐标为P(0,0,l
6、),£>(1,0,0),C(1丄0),5(0,2,0).故5p=(-1,0,-1),5c=(0,1,0),AB=(0,2,0).设n=(x,y,l)是平而PCQ的一个法向量，由nDP=0可得兀(-l)+y0-l=0=>x-y=-l由n•DC=0可得x・0+y・l+l・0=0ny=0，二x——1,y=0,n=(—1,0,1),AB=(-1,0,1)-(0,2,0)=(-l)0+0-2+1-0=0,・・・：丄而.又因为而是平面PAD的一个法向量，所以平而PAD丄平面PCD4分(11_.(II)由(1)知PB的中点的坐标为M0,1,-，故AM=0,1,—，又CB=(—l,l,0),
7、j2丿I2丿所以异面直线^和BC所成的角的余弦值为罟.Vio"T"14分3.(本小题满分14分)已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)是否不论点E在何位置，都有BD丄AE?证明你的结论；(3)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.P3.(本小题满分14分)解：(1)由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底而是边长为1的正方形,侧棱PC丄底面ABCD,且PC=2.•V••yP-ABCD1172=3S」E方形A®•PC=§X12><2=
