高三数学立体几何综合题考前题型专练含新题.doc

《高三数学立体几何综合题考前题型专练含新题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、高三数学-立体几何综合题考前题型专练(含新题)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：　立体几何综合题1．(2013·高考新课标全国卷)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.(1)证明：BC1//平面A1CD.(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．2．(2014·成都市诊断检测)如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC－A1B1C1中，AC＝AA1＝2AB＝2，∠BAC＝90°，点D是

2、侧棱CC1延长线上一点，EF是平面ABD与平面A1B1C1的交线．(1)求证：EF⊥A1C；(2)当平面DAB与平面CA1B1所成锐二面角的余弦值为时，求DC1的长．3．(2013·高考辽宁卷)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1A

3、B所成角的正弦值；(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．5．(2014·南昌市模拟)如图是多面体ABC－A1B1C1和它的三视图．(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE⊥平面A1CC1，若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值．6．(2014·郑州市质量检测)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′－BCDE.(1)在棱A′B上找一点F，

4、使EF∥平面A′CD；(2)当四棱锥A′－BCDE的体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．1．解：(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(4分)(2)由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)．(6分)设n

5、＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即(8分)可取n＝(1，－1，－1)．同理，设m是平面A1CE的法向量，则可取m＝(2，1，－2)．从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D－A1C－E的正弦值为.(12分)2．解：(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC∥平面A1B1C1.又平面ABC∩平面ABD＝AB，平面A1B1C1∩平面ABD＝EF，∴EF∥AB.(2分)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，且∠BAC＝90°，∴AB⊥AA1，AB⊥AC.而AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面ACC1A1.又A

6、1C⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1C.∴EF⊥A1C.(6分)(2)建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设C1D＝t(t＞0)．则B(1，0，0)，C(0，2，0)，D(0，2，2＋t)，A1(0，0，2)，B1(1，0，2)．∴＝(1，0，0)，＝(0，2，－2)．设平面CA1B1的法向量为n＝(x1，y1，z1)．则，得，令z1＝1，则y1＝1，∴n＝(0，1，1)．同理，可求得平面DAB的一个法向量m＝.(9分)由

7、cos〈n，m〉

8、＝＝，得t＝1或t＝－(舍去)．∴DC1＝1.(12分)3．解：(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥B

9、C，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC.所以平面PBC⊥平面PAC.(4分)(2)解法一：过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图(1)，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．(6分)在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.又因为PA＝1，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，1，1)．故＝(，0，0)，＝(0，1，1)．(8分)设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1

10、，z1)，则所以不妨令y1＝1，则n1＝(0，1，－1)．因为＝(0，0，1)，＝(，－1，0)，设平面ABP的法向量为n