13 简解一类“恒成立”高考题

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1、简解一类“恒成立”高考题定理(1)若函数在处可导，且时恒成立，则；(2)若函数在处可导，且时恒成立，则．初步感知若，所以函数在处右侧附近的图像是减函数．又函数在处可导，所以．同理，可得其他结论也成立．严格证明若，由函数在处可导及导数的定义，得同理，可证得其他结论也成立．题1(1)(2006年高考全国卷II理科第20题)设函数．若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．(2)(2014年高考陕西卷理科第21(2)题)设函数，其中是的导函数.若恒成立，求实数的取值范围．解(1)设，得．由定理(1)得，即．由导数易证，所以所求实数的取值范

2、围是．(2)可得题设即“恒成立”．由(1)知，所求答案也为．题2(2007年高考全国卷I理科第20(2)题)设函数，若对所有的，都有，求实数的取值范围．解同上可求得答案为．题3(2008年高考全国卷II理科第22(2)题)设函数，若对所有的，都有，求实数的取值范围．解设，得．由定理(1)得，即．下证当时，只需证：当且时，欲证成立．当且时，得．还须证明时，欲证成立．即证．设，因为用导数易证，所以所以是增函数，得，即欲证成立．所以所求实数的取值范围是．题4(2010年高考新课标全国卷文科第21(2)题)设函数，若当时，都有，求的取值范

3、围．解题设即，也即，还即．用以上方法可求得答案为．题5(2009年高考陕西卷理科第20(3)题)已知函数，其中.若的最小值为1，求的取值范围．解设，得题设即.由定理(1)得，即．当且时，还可证，即证．设，得．设，得，所以是增函数，得，即是增函数，所以，得欲证成立．所以当时，．得所求的取值范围是．题6(2013年高考辽宁卷文科第21题)(1)证明：当时，；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．解(1)略．(2)设，得，所以由定理3(1)可得即．当且时，还可得：得所求实数的取值范围是．题7(2013年高考辽宁卷理科第21题)已知函

4、数．当时：(1)求证：；(2)若求实数的取值范围．解(1)欲证的左边等价于.设，得．得，所以当时，恒成立，所以是增函数，得，所以是增函数，得，即欲证成立．可得欲证的右边等价于，这用导数极易证得．(2)设，得题设即．由定理(1)可得即．当且时，还可得：设，得．用导数可证得在[0,1]上是减函数，所以，即在[0,1]上是减函数，所以，进而可得：当时，恒成立．得所求实数的取值范围是．题8(2014年高考北京卷理科第18题)已知函数．(1)求证：；(2)若对恒成立，求的最大值与的最小值．解(1)略．(2)设，得(由(1)得)，所以是减函数

5、，得是减函数，所以所求的最大值是．设，由题设得恒成立，，即．用导数易证，即．所以所求的最小值是1．练习1.若恒成立，求实数的取值范围．2.设R).(1)讨论函数的单调性；(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围.答案：1.．2.(1)得.当时，可得恒成立,所以函数在上是增函数.当时，可得函数在上是增函数，在上是减函数.(2)可得题设即恒成立.令,得题设即恒成立.可得函数在附近是减函数，由定理3(1)得.当时，是减函数，所以.所以是减函数,得恒成立.所以所求实数a的取值范围是.