一类不等式恒成立问题的解法

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1、一类不等式恒成立问题的解法【教学目标】1.对于可导函数，掌握“当时，恒成立”问题的一种解法.2.对于超越函数的恒成立问题，引导学生如何确立分类讨论的标准，灵活的运用导数解决恒成立与不恒成立的问题.3.体会分类讨论思想、数形结合思想和函数与方程思想在解决复杂问题中的应用.【教学重难点】重点：通过观察不等式恒成立问题的特征，寻找使得结论成立的必要条件，缩小讨论的范围.难点：对于参数的不同取值范围，如何证明不等式恒成立与不恒成立.【教学过程】例1.（2016年四川卷）设函数，其中（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立（其中为自然对数的底数）.分析：第（II）问可以借助

2、第（I）问的结论，由的极值点与所在区间端点的大小比较确立分类讨论的依据；也可以通过观察，构造新函数，发现原问题可以转换为“当时，恒成立”问题，利用得到的取值范围，再分类讨论.解：（Ⅰ）当时，，在内单调递减.当时，由，有此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增.（Ⅱ）方法一：令，，则4而当时，，所以在区间单调递增，从而时，.当，时，.故当在区间内恒成立时，必有.当时，>1由（Ⅰ）有，从而，所以此时>在区间内不恒成立.当时，令=()当时，=因此在区间单调递增.又因为，所以当时，=，即>恒成立.综上，的取值范围为.（Ⅱ）方法二：令，因为即当时，恒成立.当时，因为，所以所以在单调递增，，即恒成立

3、.以下同方法一综上，的取值范围为.4例2.（2010年新课标卷）设函数.（Ⅰ）若,求的单调区间；（Ⅱ）若当时,求的取值范围.分析：第（II）问中，当时，即，注意到再考虑，可得，此时易证在上单调递增，故成立；再证时，不成立.解:（Ⅰ）时,,.当时,；当时,.故在单调递减，在单调递增.（Ⅱ），由（Ⅰ）知,当且仅当时等号成立.当时，,所以在上单调递增，故成立.当时,令，则当时，，所以单调递减，即，所以单调递减，于是，不符合题意.综上，的取值范围为.课堂练习（2015年山东卷）设函数，其中.（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若，成立，求的取值范围.分析：注意到，由，得，所以解得，再由

4、时，，得，故解：（Ⅰ）略4（Ⅱ），当时，，函数在为增函数，所以成立.当时，设，，令，得，所以函数在单调递减，而，则当时，，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，，于是，当时，此时，不符合题意.综上，的取值范围为.课时小结：本节课主要总结了“当时，恒成立”问题的一种解法，即寻找使得结论成立的必要条件，缩小讨论的范围.课后作业：1.（2015年北京卷节选）已知函数．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）设实数使得对恒成立，求的最大值．2.（2010年全国II）设函数．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.4