不等式恒成立问题的解法.ppt

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1、含参数不等式恒成立问题的解法一、方法引入：１.数形结合法:(1）若f(x)=ax+b,x∈[α,β]，则：f(x)>0恒成立f(x)<0恒成立αβoxyf()>0f()>0f()<0f()<0含参数不等式恒成立问题的解法（2）ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：______________________。a=b=0C>0或a>0Δ=b2-4ac<0同理，ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：______________________。a=b=0C<0或a<0Δ=b2-4ac<02.分离系数法：把所给不等式中的参数a分离出来放在不等式一边，其余项放在另一边构成

2、函数f(x),利用ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________;ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：____________的思想，去解不等式的方法。ａ≥[f(x)]maxａ≤[f(x)]min二、典型例题：例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0................(*)（1）当

3、x

4、≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围；（2）当

5、m

6、≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围.当1-m<0时，即m>1,(*)式在x[-2,2]时恒成立的充要条件为：解：(1)当1-m=0即m=1时，(*)式恒成立，故m=1适合(*)；(1-m)•(-2)2+(m-1

7、)•(-2)+3>0当1-m>0时，即m<1,(*)式在x[-2,2]时恒成立的充要条件为：△=(m-1)2-12(I-m)<0，解得:-110恒成立g(-2)=3x2-3x+3>0g(2)=-x2+x+3>0解:(2)设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3)（m[-2,2]）即xR0................(*)（1）当

8、x

9、≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围；（2）当

10、m

11、≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围.练习

12、1:对于一切

13、p

14、≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p恒成立，则实数x的取值范围是：——————————（-∞，-1）∪（3，+∞）小结：1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。例2、①若不等式x20,对x[-3,3]恒成立，则实数k的取值范围是——————————.10xyy=x2y=logx在同一坐标系下作它们的图象如右图:①解：设y1=x2(x(0,))y2=logax由图易得:≤a＜1y=x2+2-３-３21

15、1y=kxy=2xy=-2x②解：原不等式可化为：x2+2>kx例2、①若不等式x20,对x[-3,3]恒成立，则实数k的取值范围是—————————.设y1=x2+2(x[-3,3])y2=kx在同一坐标系下作它们的图象如右图:由图易得:-2

16、y恒成立，则实数a的取值范围是—————————。令（t>0）解:分离参数得:a≥又令1+2t=m（m>1），则f(m)=∴a≥[f(x)]max=即a≥(当且仅当m=时等号成立)恒成立,则a≥（t>0）恒成立小结：4、使用分离参数法，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。注意：ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________;ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。ａ≥[f(x)]maxａ≤[f(x)]min例４、已知a>0，函数f(x)=ax-bx2，（1）当b>1，证明对任意的x∈[0,1]，

17、

18、f(x)

19、≤1充要条件是:b-1≤a≤2；（2）当0

20、f(x)

21、≤1充要条件。∵x∈(0,1]，b>1∴bx+≥2(x=时取等号)bx-≤a≤+bx解:(1)b>1时,对x∈(0,1],

22、f(x)

23、≤1-1≤ax-bx2≤1bx2-1≤ax≤1+bx2故x∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:b-1≤a≤2∴(bx-)max=b-1(x=1时取得)又bx-在(0,1]上递增又x=0时，

24、f