几类不等式恒成立问题的解法

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1、万方数据中学数学杂志2008年第9期霓凭援硒搠良t嬲弼。是锡焉嚣篇g．尧锣几类不等式恒成立问题的解法安徽省灵璧中学234200侯立刚不等式恒成立问题可以综合地考查函数、导数、不等式等高中数学的主干知识，历来是高考的焦点、热点、难点，往往出现在压轴题中，很多学生望而却步．本文对高考中的常见类型加以归纳，并指出解题方法．类型一一次函数型火茗)=ax+b(a≠0)x∈[n't，rt]账咖。恒成立甘坎≥≥州≤。恒成立甘躜：喜0例l(2008安徽20)设函数八名)=导龙3一毛2+(n+1)z+l，其中口为实数．(I)已知函数厂(z)在算=l处取得极值，求口的值；(Ⅱ)已知不等式，7x)>戈2一舅

2、一n+1对任意口∈(0，+∞)都成立，求实数膏的取值范围．解(I)略(Ⅱ)方法一由题设知：o戈2—3x+(n+1)>z2一z一口+1对任意Ⅱ∈(0，+∞)都成立即a(x2+2)一工2—2x>0对任：卷口∈(0，+∞)都成立设g(口)=a(x2+2)一菇2—2x(a∈R)，贝0对任意菇∈R，g(Ⅱ)为单调递增函数(口∈R)所以对任意口∈(0，+∞)，g(n)>0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0即一戈2—2x≥0，所以一2≤茗≤0于是算的取值范围是{菇I一2≤名≤0}．方法二由题设知：口z2—3x+(口+1)>茗2一菇一o+l对任意a∈(0，+∞)都成立．即a(x2+2)一z2—2x>0

3、对任意口∈(0，+∞)都成立．于是口>≥专警对任意口∈(o，+∞)都成立，即等等≤0．所以一2≤髫≤0．于是算的取值范围是{zI一2≤茗≤0}例2(2004福建21)已知以算)=笔{詈(茗∈茗+ZR)在区间[一l，1]上是增函数．(1)求实数口的值组成的集合A；(Ⅱ)设关于鼻的方程以戈)=土的两个非零实根为戈。、z：．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥Izl—z2I对任意nEA及tE[一l，1]恒成立?若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．解(I)川加需一二兰(墨!=堡苎=至2一(石2+2)2’因为八石)在[一1，1]上是增函数，所以f’(石)≥0对zE[一l，1

4、]恒成立，且口省2一n石一2≤o对茗E[一l，1]恒成立．①设^(茗)=戈2一n名一2方法一：①{争{：：?。亍兰-。a+-口2一≤2≤00{事一·≤口≤·，因为对舅∈[一1，1]以茗)是连续函数，且只有当口=1时，f<一1)=0以及当口=一1时／≮1)=0所以A={口l—l≤口≤l}．一．．mfia<0方法二①铮{2、Lh(1)：l一口一2≤o或f号≥olh(一1)：l+口一2≤0§0≤n≤l或一l≤a≤0铮一1≤口≤1．因为对舅∈[一l，1]以石)是连续函数，且只有当n=1时，<一1)=0以及当口=一1时／t1)=0所以A={aI—l≤n≤l}．(Ⅱ)由舞=÷，得茗2一一2=o，万

5、方数据￡舞娩4罾鬻戥缓黝舅％葛舅。篇￡舅￡尹中学数学杂志2008年第9期因为△=a2+8>0所以石。，z2是方程z2一口省一2=0的两非零实根，所以％竺二口从而I石}—瓦因为一1≤口≤1，所以I菇I一戈2I=√口2+8≤要使不等式m2+tm+1≥I算l—z2l对任意a当且仅当m2+tm+1≥3对任意tE[一1，1]设g(t)=m2+tm一2=mt+(m2—2)，②铮』tgg‘(1-’1亍：2m+：m—m-2一，>2≥O。甘m≥2或②甘艮矗崭一一≥。或fm训，口>。时以石，≥。恒成立甘E≤，：了1或E翥b掣16八互)≤0恒成立甘邪m)≤o虮，1)≤0口<。时以石，≤。恒成立铮E芝，‘二：

6、n1珊『-五b簪Em，n1或1八m)≤o狄n)≤0以戈，≥。恒成立甘睃等；?解设f(x)=茹2+ax+1，则菇∈(o，÷)时厂(石)≥。恒成立e，』一号E(。'{i)车亨n∈(一1，。)k一号)≥of一号隹(o，虿1’或{八o)≥o甘一寻≤口≤一1或Ⅱ≥ok÷)≥o、于是口≥一÷．(1lI)若关于石的不等式菇2+1≥ax+b≥要≯万方数据中学数学杂志2008年第9期冕就狻4馁耍％医，国编。鳓谚露笔。尼笔。磁7意算∈[0，+∞)成立的充要条件是a≤2(1—6)丁．令咖(互)：似+b一—要1手，于是d戈+b≥睾茁手对任意石∈[0，+∞)成立的充要条件是西(戈)≥0．由币’(菇)=口一并一亨

7、=0得z=口一3．当0<石<口-3时咖’(戈)<0；当z>口_3时，咖’(z)>0，所以，当戈=口。时，咖(z)取最小值．因此咖(算)≥0成立的充要条件是咖(a刁)≥0，即口≥(2b)一．综上，不等式石2+1≥口石+b≥知手对任意菇∈[0，+∞)成立的充要条件是(26)‘T≤口≤2(1一b)丁．①显然，存在口、6使①式成立的充要条件是：不等式(2b)一言≤2(1—6)一言②有解．解不等式②得生≠≤6≤生竽③因此，③式即为6的取值范围，①式即为实