“恒成立”问题的解法.ppt

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1、“恒成立”问题的解法“恒成立”问题的解法“恒成立”问题是数学中常见的问题,涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:①一次函数型;②二次函数型;③指数、对数型;④三角函数型;⑤数列型等。解法通常使用:①函数最值法;②变量分离法;③数形结合法.讲座内容目录恒成立问题常见的题型1恒成立问题解决的基本策略2解决恒成立问题常用的方法3恒成立

2、与有解的区别4讲座内容一、恒成立问题常见的题型2.由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围3.证明不等式恒成立1.函数、数列的恒成立问题二、恒成立问题解决的基本策略两个基本思想解决“恒成立问题”思路1:思路2:如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理等等方法求函数的最值。三、解决恒成立问题常用的方法常用方法1函数性质法2变量分离法3变换主元法4数形结合法函数性质法1.函数性质

3、法1.(1)恒成立问题与一次函数联系:给定一次函数,若在内恒有则根据函数的,图像(直线)可得上述结论等价于ⅰ)或ⅱ)亦可合并成.1.函数性质法函数性质法1.函数性质法1.如图所示.同理,若在内恒有则有(1)恒成立问题与一次函数联系【例1】如果当自变量满足时,函数恒成立,求实数的范围.解:∴(2)恒成立问题与二次函数联系类型一类型1:设,在全集上恒成立问题:上恒成立(2)上恒成立(1)(2)恒成立问题与二次函数联系:【例2】若函数的定义域为则实数的取值范围为______________,即在上恒成立,也即恒成立,所以有解得.

4、解:已知函数的定义域为(2)恒成立问题与二次函数联系:(3)恒成立问题与二次函数联系类型二类型2:设,上恒成立问题:在区间(1)当时,上恒成立,上恒成立(2)恒成立问题与二次函数联系:类型2:设,上恒成立问题:在区间(2)当时,上恒成立上恒成立(2)恒成立问题与二次函数联系:【例3】已知函数,在上恒成立,的取值范围.求解:,令在上的最小值为⑴当,即时,又不存在.⑵当,即时,又⑶当,即时,又综上所述,.(2)恒成立问题与二次函数联系:变量分离法2.变量分离法2.恒成立;恒成立将含参数的恒成立式子中的参数分离出来,化成形如:或

5、或恒成立的形式.恒成立的范围是的值域;则若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.2.变量分离法【例4】当时,不等式恒成立,则的取值范围是.解:当时,由得.令则易知在上是减函数,,∴.所以2.变量分离法:变换主元法3.变换主元法3.处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化。3.变换主元法【例5】对任意,不等式恒成立,求的取值范

6、围.解:令,则原问题转化为恒成立().当时,可得,不合题意.时,应有解之得∴的取值范围为当3.变换主元法:数形结合法4.数形结合法4.数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,其“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.4.数形结合法【例6】设,,若恒有成立,求实数的取值范围.解:在同一直角坐标系中作出及的图象如图所示,的图象是半圆的图象是平行的直线系要使恒成

7、立,则圆心到直线的距离满足解得(舍去)x-2-4yO-44.数形结合法:四、恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一团。(1)不等式在时恒成立(2)不等式在时有解(3)不等式在时恒成立(4)不等式在时有解【例7】设函数,若在上有解,求实数的范围.解法一:当时,∴解法二:或,∴四.恒成立与有解的区别:关于“恒成立”问题的策略还有很多,对于某些“恒成立”题目,不一定用一种方法,还可用多种方法去处理。这就要求我们养成良好的数学思维,有良好的观察与分析问题的能

8、力,灵活的转化问题能力,使所见到的“恒成立”问题更有效地解决。友情提醒:友情提醒END

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