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《解“恒成立问题”的基本策略上学期》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、“恒成立问题”解决的基本策略一、恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件卜-某些结论恒成'、/••的命题.函数在给定区间上某结论成立问题，其农现形式通常有:①在给定区间上某关系恒成立;②某函数的定义域为全体实数R;③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a等等…隹成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方而起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题
2、过程中大致可分为以下儿种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略(一)两个基木思想解决“恒成立问题”思路1.m>f(兀)在兀G£>上恒成立<=>m>[/(x)]max思路2>mm<[/(x)]min如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际，采取介理冇效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、两数的图像、二次函数的配方法、三角函数的冇界性、均值
3、定理、函数求导等等方法求函数f(x)的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。(二)、赋值型一利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例].由等式x4+a>x3+a2x2+aax+a4=(x+l)4+b1(x+1)3+b2(x+l)2+b3(x+l)+b<定义映射f：(aba2>a.ba»)-*bi+b2+b3+bb则f：(4,3,2,1)->()A.10B
4、.7C.-lD.0略解：収x=0,则ai二l+bi+bz+th+b：,又afl,所以bi+b/bs+b严0,故选D7t例2.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图彖关寸「直线x二对称，那么().8A.1B.-lc.V2d.-a/2.7171略解：取x=oyx=,则f(0)=f(人即a=-l,故选B・44此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.(三)分淸基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给定一次函
5、数y=f(x)=ax+b(a^0),若尸f(x)在[m“]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于rf(m)>0同理，若在［m,n］内恒冇f(x)<0,则冇Yif(n)>01
6、a
7、<2的所有实数哲求使不等式x2+ax+l>2a+xM成立的x的取值范用.分析：在不等式中出现了两个字母：X及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a视作自变量，贝IJ上述问题即可转化为在卜2,2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式
8、转化为(x-l)a+x2-2x+l>0在
9、a
10、<2时恒成立,设f(a)=(x-l)a+x2-2x+l,贝ljf(a)在[-2,2]±恒大于0,故有：［/(-2)>0fx2-4x+3>0fx>3或兀<1f即匚解得：f［几2)>［广-1>0［兀>1或兀<-1/.x<-l或x>3.即xG(—8,—1)u(3,+8)此类题本质上是利川了-•次函数在区间［m,n］上的图彖是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一
11、些具体的方法，在今后的解题小自觉运用。(1)若二次函数y=ax2+bx+c(aHO)大于0恒成立，则有a>OKA<0(2)若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。例3.若函数f(x)=J(a2-l)x2+(a-l)x+^—的定义域为R,求实数Q的取值范围.VQ+19分析：该题就转化为被开方数(a2一l)x2+(a—l)x+X0在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.a+1解：依题意，当寸，2(6Z—1)X~+(d—1)XH'0成立，d+1所以，①当tz2-1=0
12、,即当ra=,a+1H0,2此时(ci—l)x~+(d—l)xH=1n0,・；a=1•a+1a2—1>0,②当/_1HO时，即当｛人(.占2［、2〃时,lA=(6Z-1)^一4(茁-1)<0Q+l有｛2a>l=>l<6/<9,ccOa+9S0,综上所述，f(x)的定义域为R时，aw［1,9］求d的取值范*0g(a)no即可.例4.已知函数f(x)=x2+ax^3-a,在R上/(x)>0恒成立,分析：y=/(x)的函数图像都在x轴及其上方，
