“恒成立问题”解决的基本策略(精编)

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1、“恒成立问题”解决的基本策略一、恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论慣成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有:①在给定区间上某关系恒成立;②某函数的定义域为全体实数R;③某不等式的解为一切实数;④某表达式的值恒大于a等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中人致可分为以下几种类型：①一•次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的

2、奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略(一)两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、m>/(兀)在xwD上恒成立0m>［/(x)lmax思路2^m

3、注意积累。(二)、赋值型——利用特殊值求解等式小的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例［・由等式x4+aix3+a2x2+a3x+a4=(x+l^+b^x+l)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4定义映射f：(ai,a2,a3,a4)->b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1)->()A.10B.7C.-1D.O略解：取x=0,则a4=1+b1+b2+b3+b4,又a4=1,所以bi+b2+b3+b4=0,故选DJT例2.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x二对称，那么a二().8A.1B.-1C.迈D.

4、-V2.yrrr略解:取x=0及x二一一,则f(O)=f(一一)，即a=-1,故选B.44此法体现了数学中从一•般到特殊的转化思想.(三)分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型，则山数形结合思想利用一•次函数知识求解，十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a#O),若y=f(x)在［m,n］内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于同理,若在［m,n］内恒有f(x)vo,/(加)<0f(n)<0例2.对于满足

5、a

6、<2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中

7、出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作H变量，则上述问题即可转化为在卜2,2］内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在副52时恒成立，设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,P!iJf(a)在［・2,2］上恒大于0,故冇：/(-2)>0/(2)>宀心〉°解得:兀2_1>0x>3或兀<1x>1或兀<-1/.x<-1或x>3.即xe(—oo,—1)u(3,+°°)此类题本质上是利川了一次函数在区间［m,n］上的图彖是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.2、二

8、次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。(1)若二次函数y=ax2+bx+c(a^0)大于0恒成立，则有a>0.&A<0(2)若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，口J以利用韦达定理以及根的分布知识求解。例3.若函数/(x)=J(a2-)x2)x+-^―的定义域为R,求实数d的取值范围.Va+12分析：该题就转化为被开方数Gz2-1)x2+(6/-1)x+——no在R上恒成立问题，并且注意对二次Q+1项系数的讨论.解：依题意，当XGR时，2(a〜—i)x2+(d—i)xhno恒成立,a+l所以，①

9、当2-1=0,即当｛"T=°'U寸，67=1,a+1H0,2止匕时(Q2-1)兀2+(d—1)兀+——=1n0,•••Q=1•a+l②当/_1HO时,d~—1>0，即叫=@_1)2_4(/_1)<0时,有｛°CTa2>1—1Oci+950,=>1<^<9,综上所述，f(x)的定义域为R时,aw［l,9］例4•已知函数f(x)=x2+ax+3-a,在R±/(%)>0恒成立，求a的取值范围.分析：y=fM的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示:略解：△=/—4(3—a)=/+4d—1250・・・