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《解“恒成立问题”的基本策略(数学)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、解“恒成立问题”的基本策略一、恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论慣成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题，具表现形式通常有:①在给定区间上某关系恒成立;②某函数的定义域为全体实数R;③某不等式的解为一切实数;④某表达式的值怛人于a等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方而起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立间题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据两数的奇偶性、周
2、期性等性质;⑤直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略(一)两个基木思想解决“恒成立问题”思路1.m>/(兀)在兀gD上恒成立OQ［/(x)］max思路2、m<在兀€£)上恒成立u>m<［/(兀)］斷如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际，采取合理启效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的冇界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f(x)的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。(二)、赋值型——利
3、用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例］.由等式x4+aix3+a2x2+a3x+a4=(x+l)4+bi(x+1)3+b2(x+l)2+b3(x+l)-»b1定义映射f：(ai,a2,a3,a.i)—bi+bz+bs+S,则f：(4,3,2,1)—()A.10B.7C.-lD.0略解：取x=0,则a4=l+bi+b2+b3+b4,XaFl,所以bi+b2+U+b4=0,故选DTT例2.如果函数y二f(x)二sin2x+acos2x的图象关于肓线x=-一对称，那么a=().8A.1B.-1C.V2D.-72.TT7T略解:取x=0及
4、x=--,则f(0)=f(——)，即a=-l,故选B.44此法体现了数寻屮从-•般到特殊的转化思想.(三)分清棊本类型，运用相关基木知识，把握基木的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a^0),若尸f(x)在［m,n］内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(肓线)可得上述结论等价于r/(^)>ot/(h)>0同理,若在［m,n］内恒有f(x)<0,/⑷)<0/(h)<0例2.对于满足
5、s
6、<2的所有实数a,求使不等式Aax+l>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：X及
7、a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数•显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在［-2,2］内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-l)a+x-2x+l>0在
8、a
9、<2时恒成立,设f(a)=(x-l)a+x2-2x+l,则f(a)在［-2,2］上恒大于0,故有:f/(-2)>0［x2-4x+3>0z,仪>3或兀<1即.解得：亠［/⑵〉［x2-l>0［兀>1或兀<-1/.x<-l或x>3.即xW(―8,—1)u(3,+8)此类题本质上是利用了一次函数在区间［m,n］上的图彖是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.2、二次函数
10、型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们婆加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。(1)若二次函数y=ax2+bx+c(aT^O)大于0恒成立，则有d〉0且A<0(2)若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。例3.若函数f(x)=((a?—1)/+(q_])兀+2^+1的定义域为R,求实数a的取值范围.2分析：该题就转化为被开方数(a2-l)x2+(a-l)x+^>0在R上恒成立问题，并a+1且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当XG,2(a-—+(a—Y)xHn0fll成,a+l所以，①当a2-1=0,即当仟一1=
11、°时，a=l,a+1H0,211匕时(°2_1)兀2+(a_i)兀+——=l>O,.-.tz=l.a+l1〉0,②当/_1工0时，即当仁(,川2n2"时,A=(a—1)-4(a-1)<0a+l综上所述,f(x)的定义域为R吋，e［1,9］例4•已知函数/(x)=X2+ax+3-a.在RJ:f(x)>0恒成立，求Q的取值范围.分析：y=/(x)的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示:略解：A=/_列3—a)=a2+4a-12<0-6
