数学恒成立问题的基本类型

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1、恒成立问题的基本类型：类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。类型2：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立类型3：。类型4：恒成一、用一次函数的性质对于一次函数有：例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。。二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范围。。三、利用函数的最值（或值域）（1）对任意x都成立；（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3

2、：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。例4：（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。。（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。。总结：我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知，求实数a的取值范围。解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使

3、函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。例6：若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（）A、B、C、D、解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。练习1、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。3、已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。4、设f(x)

4、=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。5、、当x(1,2)时，不等式(x-1)2

5、p

6、2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。1、。2、。3、a<24、解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即-2

7、，F(x)0恒成立；ⅱ）当=4（a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：-1oxy即得-3a-2;综上所述：a的取值范围为[-3，1]。5、（数形结合xyo12y1=(x-1)2y2=logax）解：设T1:=,T2:,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),<恒成立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只需故loga2>1,a>1,1

8、物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=∴a的范围为[，）。7、解：原不等式可化为(x-1)p+x2-2x+1>0,令f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：oy2-2xy-22x方法一：或∴x<-1或x>3.方法二：即解得：

9、∴x<-1或x>3.请高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；

10、第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的