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《不等式恒成立问题的基本类型及常用解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、《汤阴一中高三数学学习材料》编写人：苗丽敏2011-9-4不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+bf(x)＞0在x∈上恒成立f(x)＜0在x∈上恒成立.例1.设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在[-2,2]上变化，y恒取正值，求实数x的取值范围。解：设f(t)=y=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1，t∈[-2,2]问题转化为：f(t)＞0对t∈[-2,2]恒成立0＜x＜或x＞8。故实数x的取值范围是（0，）∪（8，+∞）。例2.对于-1≤a≤1,求使不等式()<()恒成立的x的取值范围。解：原不等式等价于x2+ax<2x+
2、a-1在a∈[-1,1]上恒成立.设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)是a的一次函数或常数函数，要使f(a)>0在a∈[-1,1]上恒成立,则须满足x>2或x<0故实数的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).类型2：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x)＞0在x∈R上恒成立a＞0且△＜0;f(x)＜0在x∈R上恒成立a＜0且△＜0.说明：①.只适用于一元二次不等式②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.-7-《汤阴一中高三数学学习材料》编写人：苗丽敏2011-9-4例3.不等式＜1对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。解：由4x2+6x+3=(2x+)2+＞0
3、,对一切实数x恒成立，从而，原不等式等价于2x2+2mx+m＜4x2+6x+3,(x∈R)即：2x2+(6-2m)x+(3-m)＞0对一切实数x恒成立。则△=（6-2m）2-8(3-m)＜0解得：1＜m＜3故实数m的取值范围是（1，3）。类型3：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)（1）当a＞0时①f(x)＞0在x∈上恒成立或或或△＜0或.②f(x)＜0在x∈上恒成立.（2）当a＜0时①f(x)＞0在x∈上恒成立②f(x)＜0在x∈上恒成立或或-7-《汤阴一中高三数学学习材料》编写人：苗丽敏2011-9-4或△＜0或.说明：只适用于一元二次不等式.类型4：a＞f(x)恒成立对x∈D恒成立a
4、＞f(x)，a＜f(x)对x∈D恒成立a＜f(x).说明：①.f(x)可以是任意函数②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。例4.（2000.上海）已知f(x)=＞0在x∈上恒成立，求实数a的取值范围。分析1：当x∈时，f(x)＞0恒成立，等价于x2+2x+a＞0恒成立,只需求出g(x)=x2+2x+a在上的最小值，使最小值大于0即可求出实数a的取值范围。解法1：∵f(x)=＞0对x∈恒成立x2+2x+a＞0对x∈恒成立。设g(x)=x2+2x+ax∈问题转化为：g(x)＞0g(x)
5、=x2+2x+a=(x+1)2+a-1,x∈∴g(x)在上是增函数。∴g(x)=g(1)=3+a∴3+a＞0a＞-3-7-《汤阴一中高三数学学习材料》编写人：苗丽敏2011-9-4即所求实数a的取值范围为a＞-3。分析2：分离变量，转化为a＞f(x)或a＜f(x)恒成立问题，然后利用极端值原理：a＞f(x)恒成立a＞f(x)a＜f(x)恒成立a＜f(x).解法2：∵f(x)=＞0对x∈恒成立x2+2x+a＞0对x∈恒成立。a＞-（x2+2x）对x∈恒成立。设(x)=-（x2+2x）x∈问题转化为：a＞(x)(x)=-（x2+2x）=-(x+1)2+1x∈∴(x)在上是减函数。∴(x)=(1)
6、=-3∴a＞-3即所求实数a的取值范围为a＞-3。例5.已知x∈时,不等式1+2x+(a-a2).4x＞0恒成立，求实数a的取值范围。分析：要求a的取值范围，如何构造关于a的不等式是关键，利用分离变量的方法可达到目的。解：设2x=t,∵x∈,∴t∈原不等式可化为：a-a2＞.要使上式对t∈恒成立，只需：a-a2＞（）.t∈=-()2+-7-《汤阴一中高三数学学习材料》编写人：苗丽敏2011-9-4由∴（）=-∴a-a2＞-即：4a2-4a-3＜0从而-＜a＜类型5：①.f(x)＞g(x)对任意x∈D恒成立②.f(x1)＞g(x2)对任意x1、x2∈D恒成立例6已知f(x)=-x3+ax,其中
7、a∈R，g(x)=-x，且f(x)＜g(x)在x∈上恒成立，求实数a的取值范围。分析：有的同学把“f(x)＜g(x)在x∈上恒成立”转化为：“当x∈时，f(x)＜g（x）,”然后求出a的取值范围。这种方法对吗？1g(x)=-x+f(x)=-2x2我们先来看一个例子，如图，当x∈[0，1]时，f(x)=0，g（x）=-，并不满足f(x)＜g（x）显然这种转化方式是不对的。错在哪里呢？原因在于用分离变量方法得到的
