恒成立问题的类型及方法处理

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1、恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。一、函数法（一）构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数有：例1：若不等式对满足的所有都成立，求的范围。分析：习惯上把当作自变量，记函数，于是问题转化为当时，恒成立，求的范围。

2、解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是比较复杂的。若把与两个量互换一下角色，即将视为变量，为常量即“反客为主”，则上述问题可转化为关于的一次函数在内大于0恒成立的问题。解析：将不等式化为：，构造一次型函数：14原命题等价于对满足的，使恒成立。由函数图象是一条线段，知应解得，所以的范围是。小结：解题的关键是将看来是解关于的不等式问题转化为以为变量，为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。练习:(1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围。（2）对于的一切实数，不等式恒

3、成立，求的取值范围。（答案：或）（二）构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数有：（1）上恒成立；（2）上恒成立（3）当时，若上恒成立14若上恒成立（4）当时，若上恒成立若上恒成立例2、若关于的二次不等式：的解集为，求的取值范围.分析：原不等式的解集为，即对一切实数不等式都成立，故必然的图象开口向下，且与轴无交点，则有解：由题意知，要使原不等式的解集为，即对一切实数原不等式都成立。只须.∴的取值范围是说明：1、本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑的情况，但对本题讲时式

4、子不恒成立。2、只有定义在R上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成失解。练习：1、已知函数的定义域为，求实数的取值范围。（答案）142、已知函数在时恒成立，求实数的取值范围。（答案）提示：构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。（三）、利用函数的最值-----分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量，则可将恒成立问题转化成函数的

5、最值问题求解。注意参数的端点值能否取到需检验。类型一：“”型一、（恒成立）：（1）恒成立；（2）恒成立；二、（能成立、有解）：（1）能成立；（2）能成立；三、（恰成立）（1）不等式在区间上恰成立不等式的解集为；（2）不等式在区间上恰成立不等式的解集为.四、（方程有解）方程在某个区间上有解，只需求出在区间上的值域A使。类型二：“”型14例5已知f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若当x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数t的取值范围.　　解f(x)≤g(x)在x∈[0,1]恒

6、成立，即在x∈[0,1]恒成立在[0,1]上的最大值小于或等于零.　　令，　　.　　∵x∈[0,1]，　　∴F′(x)＜0，即F(x)在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值.　　∴f(x)≤F(0)=1-t≤0，即t≥1.类型三：“”型（恒成立和能成立交叉）：（1）成立；例5、已知两个函数，其中为实数。（1）对任意，都有成立，求的取值范围；14（2）存在，使成立，求的取值范围；（3）对任意，都有，求的取值范围。解析：（1）设问题转化为时，恒成立，故。令，得。由，故由。（2）据题意：存在，使成立在有解，

7、故，由（1）知，于是得。（3）分析：它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别。对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：，由，得，易得，又，.故，令。例6已知函数，若对任意x1，x2∈[-2,2]，都有f(x1)＜g(x2)，求c的范围.　　解因为对任意的x1，x2∈[-2,2]，都有f(x1)＜g(x2)成立，　　∴[f(x)]max＜[g(x)]min.14　　∵f′(x)=x2-2x-3，令f′(x)＞0得x＞3或x

8、＜-1；f′(x)＜0得-1＜x＜3.　　∴f(x)在[-2,-1]为增函数，在[-1,2]为减函数.　　∵f(-1)=3，f(2)=-6，　　∴[f(x)]max=3.∴.　　∴c＜-24.类型四：“”型例：已知函数，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则

9、x1-x2

10、的最小值为____.　　解∵对任意x∈R，不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，　　∴f(x1)，f(x2)分别是f(x)的最小值和最大值.