恒成立问题的求解方法

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1、恒成立问题的求解方法复杂的问题往往由一些简单M题的演变和拼接组合，解题过程是不断分解、转化问题的过程。注重基本题型的积累，就可以敏感地抓住问题的结构特征，找到合适的解题方法.解决恒成立问题的常用方法有：①转换为求函数的最伉法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法；⑤利用二次函数根的分布。一、转换求函数的最值法：(2)/(x)〉g(x)恒成立<=>[/(%)-g(x)]min〉0;/(x)/(x)min〉g(x)max;(4)若存在x使/(x)

2、1.没函数/(x)=x4+ox3+2x2+Z?(xe/?)，其中6z，/?e/?.若对于任意的[-2,2]，不等式/Cr)幺1在1,1]上恒成立，求的取值范围.分析：/(%)S1，即/(x)max<1,«g[-2,2],xg[-1,1],要解决此题关键是求/U)max。解：fx)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ux+4)由条件tze[―2,2]可知A=9“2—64<0，从而4x2+3ar+4〉0恒成立.当又<0吋，fx)<0；当％〉0吋，fx)>0.因此函数/(x)在[-1,1]上的最大值是/(I)与/(一1)两者巾的较大者.为使对任意ae[—2,2],

3、不等式/Cr)Sl在[-1,1]上恒成立，当且仅当/(x)max<1,即，即b<-2-ab<-2+a在ae[-2,2]上恒成立.即6/g[-2,2]所以ft《-4,因此满足条件的/7的取值范围是(--,-4].二、分离参数法：(适用题型：参数与变量能分离；函数的最值易求出。)例2.当xe(1,2)时，不等式x2+/wv+4<0恒成立，求m的取值范围..r2+4r2+44解：当xe(l，2)时，由x2+/nr+4<0得m<•令/(义)=^=x+—,则易知XXXr2+4/(X)在(1，2)上是减函数,所以％dl，2j时/⑺麵.=/(1)=5,则()min>-5,tH—5♦

4、例3.己知函数/U)=丄似3+/?x2+又+3，其中“〉0，i/(%)在区间(0,1］上单调递增，试用6/表示出/?的取值范围.分析：此题虽有三个变S:X、6Z、而X的范围已知，最终要用G表示出6的取值范围，所以可以将6Z看成一个己知数，对X和进行离参。解：/(JV)在区间(0，1］上单调递增《广(幻=似2+2/^+120在(0，1］上恒成立嘘子去，峨恒成立…(-?士眶XE(0,1]设g(x)=ax1fzxa1，g!(x)=——+—=Cl{x^Cl22x22x2x*令5f(又)=0得x=了或x=---f=(舍去)，yjayjaax~2~~2x单调增函数;当义e(-7=

5、y]a，1]时gXx)<0,g(x)ax22x单调减函数,当0b此时幺’(x)20在区间(0，l］恒成立,所以豕(x)22x当《>1时，0<—<1，当(0，一时豸'(x)〉0,g(x)Clyja区间(0，1］上单调递增，n=#i)=-乎:.b>-^-0综上，当67〉1时，b>-47l'当0

6、,且对任意的实数Z均有g(l+cosZ)之0，g(3+sinZ)<0.(I)求函数/(x)的解析式;(II)若对任意的me

7、-26,61，恒有/(x)2x3-//U-11,求x的取值范围.解析：(I)g(x)=fx)=3x2-18xcosa+48cos/3,Vzg/?,0x3—znx-11<=>mx-9x2+24x4-11>0.4*

8、h(m)=mx-9x2+24x+l1,则f(x)>x3-nvc—11即h(m)20.由于me［—26,6］，则有f/?(-26)=—26x-9x"+24x+11^0.z1rrwMr1.解得—一幺％幺1.所以又的取值范围为［——，1］。［/z(6)=6x-9%2+24x+11>033例5.已知函数/⑺=三乂—二又2+(“+1)%+1，其中67为实数.不等式//(义)〉又2-；1-«+132对任意tze(0，+oo)都成立，求实数X的取值范围.分析：已知参数U的范围，要求自变量X的范围，转换主参元X和6/的位置，构造以G为自变量X作为参数的一次函数g(6