求解恒成立问题的常见方法

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1、求解恒成立问题的常见方法　　摘要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。　　关键词：恒成立；参数；解题方法　　一、一元二次不等式中的恒成立问题　　例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f（x）≥a成立，求a的取值范围。　　解：∵f（x）≥a对x∈R恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对x∈R恒成立　　∵x∈R，∴Δ≥0，即a2-4（3-a）≥

2、0∴a≤-6或a≥2　　例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。　　解：由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立　　①当m=0时显然成立　　②当m≠0时有m>0（6m）2+4m（m+8）<0∴00（或f（x）≥0）对任意x∈R恒成立，则有a>0Δ0Δ≤0），若f（x）<0（或f（x）≤0）对任意x∈R恒成立，则有a<0Δ<0（或a<0Δ≤0）等价转化即可。　　二、在给定区间上恒成立问题　　例3.已知函数f（x）

3、=（x≠0）在（4，+∞）上恒大于0，求a的取值范围。　　解：令f（x）=0则>0，∴a>-（x+）　　令g（x）=x+，易知g（x）在（4，+∞）上为增函数，　　∴g（x）min=g（4）=5∴g（x）>5　　∴-（x+）<-5∴a≥-5　　例4.已知函数f（x）=x2+2x+alnx，在区间（0，1]上为单调函数，求实数a的取值范围。　　分析：求f′（x）→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围　　解：易知f′（x）=2x+2+，∵f′（x）在f′（x）上单调　　∴f′（x）≥0或f′（x）<0在（0，1]上恒成立，　　即2x2+

4、2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立　　∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立　　又-（2x2+2x）=-2（x+）2+∈[-4，0）　　∴a≥0或a≤-4　　方法归纳：解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等价变形，将参数a从整体中分离出来，转化为a>（或f（x）（或a≥　　f（x）恒成立？圳a>m（或a≥m）；（2）若f（x）在定义域内存在最小值m，则a

5、）在定义域上增大（或减小）时无限接近但永远达不到的那个位置来代替上述两种情况下的m，此时要注意结果所求参数范围在端点处是否要取到等号。　　例5.已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-时都取得极值，　　（1）求a、b的值；　　（2）若对x∈（-1，2）时都有f（x）<恒成立，求c的取值范围。　　解：（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+c∴f′（x）=x3-x2-2x+c　　由-a=1-=-得a=-b=-2∴f（x）=x3-x2-2x+c　　（2）∵f（x）x3-x2-2x　　令g（x）=x3-x2-2x则g′（x）=3x3-x-2

6、=（3x+2）（x-1）　　令g′（x）=0则x=-或x=1　　在（-1，2）内易知g（x）max=g（2）=2又x<2∴g（x）<2　　∴-c≥2即≤0∴c∈（-∞，-3]∪（0，1]　　说明：此类恒成立问题的本质是求最值，等号不能成立时一般转化为函数的单调性求最值。　　编辑王团兰