【创新方案】2015高考数学（理）一轮突破热点题型：第8章 第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系

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1、备课大师：免费备课第一站！第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系考点一直线与圆、圆与圆的位置关系　[例1]　(1)(2013·陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)(2014·南昌模拟)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是________________．[自主解答]　(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1，所以直线与圆相交．(2)把圆的方程化为标准方程得

2、2＋(y＋1)2＝16－k2，所以16－k2>0，解得－0，即(k－2)·(k＋3)>0，解得k>2或k<－3，则实数k的取值范围是∪.[答案]　(1)B　(2)∪【互动探究】在本例(2)中的条件“总可以作两条直线”改为“至多能作一条直线”，结果如何？解：依题意知点(1,2)应在圆上或圆的内部，所以有解得－3≤k≤2.　　　　　【方法规律】1．判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法：①明确圆心C的坐标(a，b)和半径r，将直线方程化为一般式；②利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；③比较

3、d与r的大小，写出结论．(2)代数法：①直线方程与圆的方程联立，消去一个变量；②判断二次方程根的个数(Δ与0的关系)；③得出结论．2．圆与圆的位置关系判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，

4、r1－r2

5、；(3)比较d，r1＋r2，

6、r1－r2

7、的大小，写出结论．1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离解析：选B　法一：由消去y，整理得x2＋x＝0，因为Δ＝12－4×1×0＝1>0，所以直线与圆相交．http://www

8、.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/备课大师：免费备课第一站！又圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，且0≠0＋1，所以直线不过圆心．法二：圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径长为1，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝.因为0<<1，所以直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1相交但直线不过圆心．2．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有(　　)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选D　圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－

9、1)2＝1，∴圆心C2(2,1)，半径长r2＝1.∴d＝＝，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．考点二与圆有关的弦长问题　[例2]　(1)(2013·安徽高考)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)A．1B．2C．4D．4(2)(2013·江西高考)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)A.B．－C．±D．－[自主解答]　(1)因为圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，且圆的半径r＝.所以所得弦长＝2＝4.(2)由于y＝，即x2＋y2

10、＝1(y≥0)，直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B两点，如图所示，S△AOB＝×1×1×sin∠AOB≤，且当∠AOB＝90°时，S△AOB取得最大值，此时AB＝，点O到直线l的距离为，则∠OCB＝30°，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为－.[答案]　(1)C　(2)B【方法规律】计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式

11、AB

12、＝

13、xA－xB

14、＝.1．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．解析：法一：几何法：圆心到直线的距离为d＝＝，

15、圆的半径r＝2，所以弦长http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/备课大师：免费备课第一站！l＝2×＝2＝2.法二：代数法：联立直线和圆的方程消去y可得x2－2x＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为＝2.答案：22．(2014·济南模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直