2019高考数学考点突破——直线与圆：直线与圆、圆与圆的位置关系

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1、直线与圆、圆与圆的位置关系【考点梳理】1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).方法位置关系　　几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相

2、交

3、r2－r1

4、

5、r1－r2

6、(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<

7、r1－r2

8、(r1≠r2)无解【考点突破】考点一、直线与圆的位置关系【例1】(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)A．相交　　　　　B．相切C．相离D．不确定(2)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________.[答案](1)A　(2)－＜k＜[解析](1)法一：∵圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<.故直线l与圆相交．法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，∵点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝

9、5的内部，∴直线l与圆C相交．(2)法一将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得－＜k＜.法二圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，即＞1，解得－＜k＜.【类题通法】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【对点训练】1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋

10、y－5＝0的位置关系是(　　)A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离[答案]B[解析]由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心.2．已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为(　　)A．±B．±C．±D．±1[答案]D[解析]将y＝mx代入x2＋y2－4x＋2＝0，得(1＋m2)x2－4x＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2－4(1＋m2)×2＝8(1－m2)＝0，解得m＝±1.考点二、圆的切线、弦长问题【例2】设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点

11、，若

12、AB

13、＝2，则圆C的面积为________.[答案]4π[解析]圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C:x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离为d＝＝.又由

14、AB

15、＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.【类题通法】弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.【对点训练】过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为_______

16、_.[答案]2[解析]设P(3，1)，圆心C(2，2)，则

17、PC

18、＝，半径r＝2，由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.【例3】过点P(2，4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.[答案]x＝2或4x－3y＋4＝0[解析]当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，解得k＝，∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，即4x－3y＋4＝0.综上，切

19、线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.【类题通法】圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.【对点训练】过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的