2019高考数学考点突破——直线与圆：圆的方程

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1、圆的方程【考点梳理】1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心，半径2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.【考点突破】考点一、求圆的方程【例1】(1)过点A(4

2、，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________.(2)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________.[答案](1)(x－3)2＋y2＝2　(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0[解析](1)法一由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②联立①②，解得所以圆心坐标为(3，0)，半径r＝＝，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)

3、2＝r2(r＞0)，∵点A(4，1)，B(2，1)在圆上，故又∵＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由

4、x1－x2

5、＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.【类题通法】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：

6、(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【对点训练】1．经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．[答案]x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)[解析]法一∵圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)．设所求圆的圆心为C(a，

7、b)，则有解得a＝2，且b＝1.因此圆心坐标C(2，1)，半径r＝

8、AC

9、＝.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.法二设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则解得D＝－4，E＝－2，F＝－5，∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.2．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．[答案]2＋y2＝[解析]由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方

10、程为(x－m)2＋y2＝r2(00)，则解得所以圆的标准方程为2＋y2＝.考点二、与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值.[解析]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1).所以的最大值为，最小值为－.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与

11、圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2).所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.【类题通法】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为