2019高考数学考点突破——直线与圆：圆的方程 Word版含解析.pdf

《2019高考数学考点突破——直线与圆：圆的方程 Word版含解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、圆的方程【考点梳理】1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a，b)，半径rDE圆心－，－，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，22一般方程(D2＋E2－4F＞0)1半径D2＋E2－4F22.点与圆的位置关系点M(x，y)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：00(1)若M(x，y)在圆外，则(x－a)2＋(y－b)2＞r2.0000(2)若M(x，y)在圆上，则(x－a)2＋(y－b)2＝r2.0000(3)若M(x，y)在圆内，则(x－a

2、)2＋(y－b)2＜r2.0000【考点突破】考点一、求圆的方程【例1】(1)过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________.(2)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________.[答案](1)(x－3)2＋y2＝2(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0[解析](1)法一由已知k＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①AB过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②

3、x＝3，联立①②，解得y＝0，所以圆心坐标为(3，0)，半径r＝（4－3）2＋（1－0）2＝2，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，（4－a）2＋（1－b）2＝r2，∵点A(4，1)，B(2，1)在圆上，故（2－a）2＋（1－b）2＝r2，b－1又∵＝－1，a－2解得a＝3，b＝0，r＝2，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，2D－4E－F＝20，①将P，Q两点的坐标分别代入得

4、3D－E＋F＝－10.②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x，x是方程③的两根，12由

5、x－x

6、＝6，得D2－4F＝36，④12联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.【类题通法】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点

7、与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【对点训练】1．经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．[答案]x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)[解析]法一∵圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．1易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)．22a－b－3＝0，设所求圆的圆心为C(a，b)，则有1b＝－a－，2解得a＝2，且b＝1.因此圆心坐标C(2，1)，半径r＝

8、AC

9、＝10.

10、故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.法二设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，25＋4＋5D＋2E＋F＝0，9＋4＋3D－2E＋F＝0，则DE2×－＋－3＝0，22解得D＝－4，E＝－2，F＝－5，∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.x2y22．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程164为________．325[答案]x－2＋y2＝24[解析]由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，

11、右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准3m＝，m2＋4＝r2，2方程为(x－m)2＋y2＝r2(00)，则解得所以圆的标－m2＝r2，25r2＝.4325准方程为x－2＋y2＝.24考点二、与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.y(1)求的最大值和最小值；x(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值.[解析]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，

12、3为半径的圆.yy(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.xx当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，

13、2k－0

14、此时＝3，解得k＝±3(如