2019高考数学考点突破——直线与圆：直线的倾斜角与斜率、直线的方程

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1、直线的倾斜角与斜率、直线的方程【考点梳理】1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝

2、y1(y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用【考点突破】考点一、直线的倾斜角和斜率【例1】(1)直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)A．B．C．D．(2)若直线l过点P(－3，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．[答案](1)B　(2)[解析](1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2cosα∈[1，].设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，].又θ∈[0，π)，

3、所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.(2)因为P(－3，2)，A(－2，－3)，B(3，0)，则kPA＝＝－5，kPB＝＝－.如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.【类题通法】1．(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R.(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．第(2)问求解要注意两点：(1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k≤－5或k≥－.【对点训练】1．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)A．[0，π)B．

4、∪C．D．∪[答案]B[解析]设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π，故选B.2．直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.[答案](－∞，－]∪[1，＋∞)[解析]法一设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由9

5、0°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－].故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1－k)(－－k)≤0，即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－.即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).考点二、求直线的方程【例2】(1)已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　　)A．4x－3y－3＝0B．3x－4y－3＝0C．3x－4y－4＝0D．4x－3y－4＝0(2)若A

6、(1，－2)，B(5，6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是．[答案](1)D　(2)2x－3y＝0或x＋y－5＝0[解析](1)由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tanα＝，所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.(2)法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.由题意得M(3，2).若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)，所以直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.若a≠0，设直线l的方程为＋＝1，因为直线l过点M(3，

7、2)，所以＋＝1，所以a＝5，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.法二：易知M(3，2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3).令y＝0，得x＝3－；令x＝0，得y＝2－3k.所以3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝.所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.【类题通法】1．截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为