2019高考数学考点突破——直线与圆：两条直线的位置关系

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1、两条直线的位置关系【考点梳理】1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点

2、坐标就是方程组的解．3．距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离

3、P1P2

4、d＝点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝【考点突破】考点一、两条直线的平行与垂直【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)当l1∥l2时，求a的值；(2)当l1⊥l2时，求a的值.[解析](1)法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不

5、平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1∥l2可得解得a＝－1.综上可知，a＝－1.法二由l1∥l2知即⇒⇒a＝－1.(2)法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1⊥l2，得·＝－1⇒a＝.法二∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，得a＝.【类题通法】1．判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，

6、还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A2B2C2≠0时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．【对点训练】1．直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为(　　)A．－1B．0C．1D．2[答案]C[解析]∵直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，∴解得m＝1.故选C.2．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0，

7、l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，若l1⊥l2，则a＝________.[答案][解析]因为直线l1：ax＋2y＋6＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，所以a·1＋2·(a－1)＝0，解得a＝.考点二、两直线的交点与距离问题【例2】(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.(2)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．[答案](1)(2)x＋3y－5＝0或x＝－1[解析](1)法一联立方程解得(

8、若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)∴交点坐标为.又∵交点位于第一象限，∴解得－＜k＜.法二如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2).而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线.∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，∴动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.∵kPA＝－，kPB＝.∴－＜k＜.(2)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即

9、3k

10、－1

11、＝

12、－3k－3

13、，∴k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．法二当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4)，∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.【类题通法】1．求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．2．利用距离公式应注意：①点P(x0，y0

14、)到直线x＝a的距离d＝

15、x0－a

16、，到直线y＝b的距离d＝

17、y0－b

18、；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．【对点训练】1．当0