专题9.5热点题型四直线与圆、圆与圆的位置关系-2017年高考数学（文）热点+题型全突破

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1、热点题型四直线与圆、圆与圆的位置关系【基础知识整合】1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法⑴几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半一径厂的大小关系.d"o相交;d=】'0相切;力厂0相离.(2)代数法:判别式.4=lj—ac>0o相交；=0<=>相切;<0o相离.【知识拓展】圆的切线方程常用结论(1)过圆x+y=r±一点、如的圆的切线方程为xox+yQy=r.(2)过圆(/—&)'+(y—Z?)2=r上一点P(xq,y(>)的圆的切线方程为(及一盘)(无一盘)+(必一方)($—方)=r.(3)过圆x+y=r外一点於(垃，必)作圆的两条切线，则两切点所

2、在直线方程为xox+yoy=r.2.圆与圆的位置关系设圆0：(^―c?i)2+(y—Z?i)2=rI(z*i>0),圆(h：{x—2+(y—bz)2=ri(12>0).方法位置恳几何法：圆心距〃与刀，乙的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r+ri无解外切d=n+?2一组实数解相交z'i—12

3、时，两圆方程(#,b项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.类型一、直线与圆的位置关系【典例1H2016江苏高考】在平面直角坐标系血屮，以点(1,0)为圆心且与直线宓一y—2〃Ll=0(XR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【变式训练】设点M(x(),l),若在圆O:x2+y2=l上存在点N,使得ZOMN=45。,则兀()的取值范围是(B)(D)V

4、V2T'3【典例2】【2015高考四川，文10】设直线/与抛物线y=4x相交于力，〃两点，与圆。(^-5)2+y=r(r>0)相切于点必且於为线段中点，若这样的直线/恰有4条，则厂的取值范围是(

5、)(A)(1,3)(3(1,4)(0(2,3)【一题多解】己知直线厶y=kx+,圆C：(x—1)'+(y+l)'=12.(1)试证明：不论&为何实数，直线/和圆C总有两个交点;(2)求直线/被圆C截得的最短弦反.【解题技巧与方法总结】判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)儿何法：利用〃与厂的关系.(2)代数法：联立方程随之后利用4判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法屮最常用的是儿何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.类型二切线、弦长问题【典例3][2015高考新课标2】过三点A(l,3),B(4

6、,2),C(l,—7)的圆交y轴于必A俩点,贝iMN=【变式训练1JC2014山东.文14]圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截兀轴所得弦的长为2侖，则圆C.的标准方程为・【变式训练2]【2015泰州二模】若斜率互为相反数且相交于点P(l,l)的两条直线被圆O：兀2+于=4所[7截得的弦长Z比为则这两条直线的斜率之积为2【典例4][2015高考重庆，文12]若点P(l,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为.【变式训练】【2015商丘一模】若圆C：x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，

7、则由点(a,b)向圆所作的切线长的最•小值是・_。【解题技巧与方法总结】1.处理直线与圆的弦长问题时多用儿何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形.2.求圆的切线方程的常用方法：(1)设出切线方程，由几何性质确定参数值.(1)过圆外一点(也，必)求切线，既可采用几何法也可采用代数法.①几何方法：当斜率存在时，设为切线方程为y—心)，由圆心到直线的距离等于半径求解.②代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y—必=&匕一心)，即y=kx-kx.+y„代入圆方程，得一个关于％的一元二次方程，由4=0,求得乩切线方程即可求岀.类型三、圆与圆的位置关系【典例5

8、】［2014•北京卷】己知圆C：(x—3尸+(y—4尸=1和两点A(—/n,0),B5,0)(刃＞0).若圆C上存在点化使得ZAPH,则刃的最大值为【变式训练】【2016南通市二次调研】在•平面直角坐标系兀Oy中，圆G：(兀+1)2+(〉，-6)2=25,圆：(x-17)2+(y-30尸=斥.若圆上存在一点户，使得过点P可作一条射线与圆G依次交于点A,B,满足PA=2AB,则半径=的取值范围是.【典例6】【2015•甘肃诊断】已知圆01：(x—a)2+(y—A)2=4,ft：(*—已一1)'+(y—力一2)'=1(曰，力GR)则两圆的位置关系是【变式训

9、练】［2016•宁德模拟】已知直线7:x+y-2=0和圆C:x2+y-12x-12y+54=0