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《专题04-向量法求空间角度问题-2019年高考提升之数学考点讲解和真题分析(四)(解析版)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2019年高考提升之数学考点讲解与真題分析（四）04向量法求空间角空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角是立体儿何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本文旨在讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。1•空间的角包括两条异面直线所成•的角，直线与平面所成的角，以及二面角等。2•考试要求：既要深刻理解它们的含义（包括取值范围），又要能综合应用其概念和平面儿何知识熟练解题。a■b3.对于空间向量a、b,有cosS0N丽.
2、利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题.经典例题解析：求解空间屮的角的策略是转化思想，即把空间角转化为平面的角解决，空间的角共有三种：线线角、线而角、二而角。而空间的角的求•解是高考考查的热点，下而就具体分析空间角的求解策略。一、两条异面直线所成的角已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线cilla^llb,那么直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角（夹角）。点O也可选在a或b上。由定义可以看出两条异而直线所成的角是市两条相交直线所成的角定义的，它刻画了两条异面直线的相对倾斜程度。两
3、条异面直线所成角的范围是（0°,90°］；当夹角为90°时，两条异面直线互相垂直。例1、如图所示，在三棱柱A4/丄底面ABC,AB=BC=AAlf厶BC=90°。点E、F分别是棱AB、的中点，贝IJ直线EF和BCi所成的角是（）A.45B.60°C.90D.120故两直线所成的角为ZHGB=6(f.解：连结AB「易知ABJ/EF,连结BQ交BC］于点G,取AC的屮点H,则GH/ABJ/EF,设AB=BC=AA=a,在三角形GHC屮，易知GH=HC=GC=—a2选B.点评：求两条异面直线所成的角，关键是作平行线，一般依据
4、三角形中位线定理、公理4等来作，求解步骤可分为找，即如果图形中有现成的夹角，把它找出来，没有现成的，把它作出来；证明，即证明哪个角是夹角；求,，即求出夹角的值。例2.如图2所示：在空间四边形ABCD中,AD=8,AB二6,AC二4,BC=5,ZDAC=45°,ZDAB=60°,求AD与BC夹角的余弦值。分析：欲求AD与BC夹角的余弦值，可先求环与五的夹角余弦值，这就需要由题设条件求出数量积AD•BCo解：VBC=AC-AB,=ZDAC=45°,=ZDAB=60°AAD•BC=AD•AC-AD
5、•AB=
6、AD
7、•
8、AC
9、cos-
10、AD
11、•
12、AB
13、cos二8X4Xcos45°-8X6Xcos60°=16^-24.-AD•BC16迈-242a/2-3•••cos二————二I,
14、AD
15、-
16、BC
17、8X0°ADA与BC夹角的余弦值为迸血。5在棱长为a的正方体八BCD—BiGD］中，求：异面直线与DB所成的角.分析:解一:利用夹角的余弦公式先求出〈BQ,DB>,再求异面直线B.C与DB所成的角。如图3//BC丄15乙來丄15己农丄CB,.BC•Dc=cic•DC=QC•CB
18、=0,b7c=b]c1+CiC=BC+CiC,DB=DC+CB,/.B^C・DB=(BC+cjc)・cbh+Cb)BC・DC+BC・CB+CfiC・DC+QC・CB=-BC2=-a2.X
19、B^C
20、=
21、DB
22、=V2a,cos="•皿二厂门厂=-1,1^1•
23、DB
24、暑■屆2.=120°,故异面直线BjC与DB所成的角为60%评注：将所求向量用空间的一组基向量来表示是解决向量向量问题的常用方法。解二：建立如图4所示的空间直角坐标系A-xyz,则有B(a,0,0),B](a,0,a),C(a,
25、a,0),D(0,a,0),BiC=AC-ABi=(a,a,O)-(aAa)=(O,a,-a),DB=AB-AD=(a,0,0)-(0,a,0)=(a,-a,0)B^C•DB=OXa+a(-a)+(-a)X()=-a^
26、B]C
27、=
28、DB
29、=V2a.遇<阮亦=隹卫一=丿厂冷
30、就
31、.
32、db
33、晶•屆2.=120°,故异面直线B】C与DB所成的角为60。。评注：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积。二、直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
34、特別地，当直线和平面垂直时所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0°,直线和平而所成的角的取值范围为[0°,90°].例4、如图,正三棱柱ABC—AjBjC]中,AB=AA
35、,则AC】与平面BB
36、C]C所成的角的正弦值为A.V
37、2C.V6VC4D.也解：如图所示，过点人作如？丄BC,连结CQ,则即为直线A
