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《06空间向量指导-2019年高考数学考点讲解（四）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、、考纲解读①握空I'可向量的线性运算及其坐标表示.常握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.②利用空间向量证明空间中的平行与垂直关系。利用空间向量求两异面直线所成的角、线面角和二面角等计算空间角的问题；利用空间向量求空间距离问题。关键掌握角度的求解，距离为辅。二.知识结构：三、复习策略1.用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法ffff向量。对于垂直问题，一般是利用幺丄b^ab=O进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.2.用向量方法求夹角（线线夹角、线面夹角、面面夹
2、角），其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹abCOS&=———=1-角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式
3、怎卜2丨。3.空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解。设n是平面&的法向量，AB是平面G的一条斜线，交逼；
4、平面◎于A,则点B到平面◎的距离为1^1o四、典例分析1.证明平行例1（2011四川文科）如图，在直三棱柱ABC-A^G中，Z胡U90°,加二亿二1,延长力皿至点只使GP=AG,连接〃交棱CG于〃.求证：〃〃平面BDA、；分析：本题可以利用传统
5、方法证明，也可以利用向量法证明，设直线PBj的方向向量a,平面朋/的一个法向量为n,要证明/%〃平面丽只需证明必丄"，即««=0即可。证明：如图，以川为原点，佔,川G,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A—BGA,则A（0,0,0）,B,（1,0,0）,C
6、（0丄（）），5（1,0,1）,P（0,2,0）・在△/MJl中有¥=2卒，即。（0丄1）・<2*<2*••申=山0小4^=（0丄八^p=（-u3o）.设平面mo的一个法向量为叫=（么吐）,叫-43=a+c=0a时鬲》+”0令"T贝仏虫亍-哄—1^P=lx(-l)+lx2+(-l)x0=0,2点评：利用向量
7、证明线面平行主要有两条途径：（1）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（2）利用向量平行的条件证明直线的方向向量与平而内一条直线的方向向暈是平行向暈.1.证明垂直例2（2011湖南理科）如图，在圆锥PO中，己知P0=4i,00的直径AB=2,C是AB的中点，D为AC的屮点•证明：平面POD丄平面PAC;分析：本题可以利用传统方法证明，也可以利用向量法证明，首先建立正确的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用向量的数量积求得相关两平面的法向量〉证明两个平面的法向量互相垂直。解：如图所示，以0为坐标原点，OB、OC、0P所在直线分别为由、y轴，空轴建立空间直角坐标系，则11八
8、--^+-^1=0.所以=0.o（o,o,o）M（70,o）/ao,o）,c（o丄d（—设«1=（jqay1>z1）是平面P0D的一个法向量，则由®・QD=Q角・OP=0,得｛2G=0,西=”,取Ji=1,得％=(1,1,0).设角=（花宀,勺）杲平面PAC的一个法向量，贝PA=Qzti1PC=0,—Xj—=0”+辰2=0.得角=（一血,血,1）。因为叫・马=（1丄0）•（—©，血，1）=0,所以叫丄阳.从而平面FOD丄平面PACo点评：向量a垂直于向量方的充要条件是2•方=0,据此可以证明直线与直线垂直，进而还可证明直线与平而垂直及两个平而垂直.在证明一对向量垂直时，往往
9、用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为零.本题把推理论证面面垂直用向量运算来代替，减少了构造辅助图形，降低了思维量.1.求界面直线所成角例3(2011陕西理科)如图，在AABC中，ZABC=60,ABAC=90,AD是BC上的高，沿AQ把山BC折起，使ZBCD=90o(I)证明：平面ADB丄平面BDC；(II)设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余眩值。分析：要证明面面垂直通过转化证明线线垂直，求线线所成角具体方法是：设两异面直线血》所成的角为爲a,b分别是血&的方向向量，注意到异面直线所成角的范围是(00)°],则有8s£=
10、8s@卸=备#「解(I)I折起前
11、AD是BC边上的高，・・・当厶ABD折起后，AD丄DC,AD丄DB,又DBnDC=D,/.AD丄平面BDC,*AD条平面EDC・二平面ABD丄平面BDC。(11)由上BDC=90°及(I)^QDA,DB,DC两两垂直,不防设
12、助
13、二1,以D为坐标原点，以丽，万氏3所在直线兀”2轴建立如團所示的空间直角坐标系，易得D(0』,0),B(1,0,0力C(0,3,0),A(0,0,0力z13小E(二>—f0力22二运彳呵，DB=(lf0,0)・••近与面夹角的余弦值为122点评：两异面直线所成的角的范围为(0°,90°]
