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《04向量法求空间角度问题-2019年高考数学考点讲解（四）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题吋，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点Z-O本文旨在讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。1•空间的角包括两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，以及二面角等。2.考试要求：既要深刻理解它们的含义（包括収值范围），又要能综合应用其概念和平面几何知识熟练解题。a■b3.对于空间向量弘b,有cos=---7-.利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角
2、a\b的问题.经典例题解析：求解空间屮的角的策略是转化思想，即把空间角转化为平面的角解决，空间的角共有三种：线线角、线而角、二而角。而空间的角的求解是高考考查的热点，下面就具体分析空间角的求解策略。一、两条异面直线所成的角已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点0作直线m'llb,那么直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角（夹角）。点0也可选在a或b上。由定义可以看出两条异而直线所成的角是由两条相交直线所成的角定义的，它刻画了两条异而直线的相对倾斜程度。两条异面直线所成角的范围是（0°,90°］；
3、当夹角为90°时，两条异面直线互相垂直。例1、如图所示，在三棱柱ABC—ADG中，M丄底面力化，AB=BC=AAIfNABG90。。点仗尸分别是棱力〃、鸥的中点，则直线莎和"G所成的角是（）AiCA.45°B.60°C.90°D.120°解：连结AB「易知AB}//EF,连结交BC；于点G,取AC的中点H,则GH//4§//EF,设AB=BC=AA=a,在三角形GHC屮，易知GH=HC=GC=亠。，故两直线所成的角为Z//GB=60°.故选B.2点评：求两条异面直线所成的角，关键是作平行线，一般依据三角形中位线
4、定理、公理4等来作，求解步骤可分为找，即如杲图形中有现成的夹角，把它找出来，没有现成的，把它作出来；证明，即证明哪个角是夹角；求，即求出夹角的值。例2・如图2所示：在空间四边形ABCD中，AD=8,AB二6,AC二4,BC二5,ZDAC=45°,ZDAB=60°,求AD与BC夹角的余弦值。分析:欲求AD与BC夹角的余弦值，可先求环与庇的夹角余弦值，这就需要市题设条件求岀数量积环就。解：VBC=AC-AB,=ZDAC=45°,=ZDAB=60AD・BC=AD・AC-AD・ABcos5、,AC>-AD
6、•AB
7、cos=8X4Xcos45°-8X6Xcos60°=16^/2-24.ADA与BC夹角的余弦值为迸返。例3在棱长为a的正方体ABCD—AiBiCiDj中,求：异面直线B£与DB所成的角.分析：利用夹角的余弦公式先求出〈就,DB>,再求异面直线B.C与DB所成的角。解一：如图3,•・•眈丄庇,盘丄GC±CB,ABC・DC=CiC・DC=oiC・CB=0,VW：=B8、Z・DC+GC・CB=-BC2=-a2.又
9、阮
10、=I丽
11、・°・cos=-—_—-二~7=~r=-寺
12、威
13、•
14、DB
15、V2a*V2a2:.<^C,DB>=120°，故异面直线BQ与DB所成的角为60°。评注：将所求向量用空间的一组基向量來表示是解决向量向量问题的常用方法。解二：建立如图4所示的空间直角坐标系A-xyz,则有B(a,0,0),Bi(a,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),:.BiC=AC-ABi=(a,a,0)一(a,0,a)=(0,a,-a),DB=AB-AD=(a,0,0)
16、一(0,a,0)=(a,-a,0)•cos
17、就
18、•
19、丽
20、屆•屆2就•DB=0Xa+a(-a)+(-a)X0=-a2,
21、fW：
22、=
23、DB
24、二辺a.:.DB>=120°，故异面直线BiC与DB所成的角为60。。评注：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量枳。二、直线和平血所成的角平而的一条斜线和它在平而上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平而所成的角。特别地，当直线和平面垂直时所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0°,直线和平面所成的角的取值范围为[0°,90
25、°].例4、如图,正三棱柱ABC—A】B】Ci中,AB=AAi,则AG与平面BB.CtC所成的角的正弦值为C,4V
26、~2解：如图所示，过点A作AO丄BC,连结CQ,则ZAC,O即为直线AC；与平僧BBCC所成的角，设AB=AA,=a(a>0),易得AO=—a,AC=42a,2A00Cl/a所以sinZACO=—^=^^=—.故选C・AC,忑a4点评：求解线面角的步骤亦为找
