2020高考数学培优《利用空间向量求夹角》(解析版)

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1、小利用空间向量求夹角1．利用面面垂直建系例1：在如图所示的多面体中，平面平面，四边形为边长为2的菱形，为直角梯形，四边形为平行四边形，且，，．（1）若，分别为，的中点，求证：平面；（2）若，与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）连接，∵四边形为菱形，∴．∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面．又平面，∴．∵，∴．∵，∴平面．∵分别为，的中点，∴，∴平面．（2）设，由（1）得平面，由，，得，．过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，，如图所示，23小又，

2、∴为等边三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，故平面．∵为平行四边形，∴，∴平面．又∵，∴平面．∵，∴平面平面．由（1），得平面，∴平面，∴．∵，∴平面，∴是与平面所成角．∵，，∴平面，平面，∵，∴平面平面．∴，，解得．在梯形中，易证，分别以，，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则，，，，，，由，及，得，∴，，．设平面的一个法向量为，由得，令，得23小设平面的一个法向量为，由得，令，得．∴，又∵二面角是钝角，∴二面角的余弦值是．2．线段上的动点问题例2：如图，在中，，，，沿将翻折到的

3、位置，使平面平面．（1）求证：平面；（2）若在线段上有一点满足，且二面角的大小为，求的值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）中，由余弦定理，可得．∴，∴，∴．作于点，∵平面平面，平面平面，∴平面．∵平面，∴．又∵，，∴平面．又∵平面，∴．又，，∴平面．23小（2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，，．设，则由，设平面的一个法向量为，则由，取．平面的一个法向量可取，∴．∵，∴．3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正方形中，为中点，分别将，沿

4、，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2．在三棱锥中，为中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的大小．23小【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）在正方形中，为中点，，，∴在三棱锥中，，．∵，∴平面．∵平面，∴．（2）取中点，连接，取中点，连接．过点作的平行线．∵平面，∴，．∵，为的中点，∴．∴．如图所示，建立空间直角坐标系．，，，．∵，为的中点，∴．23小∵平面，平面，∴平面平面．∵平面平面，平面，∴平面．∵．∴平面的法向量．．设直线与平面所成角为，则．

5、∴直线与平面所成角的正弦值为．（3）由（2）知，，．设平面的法向量为，则有即，令，则，．即．∴．由题知二面角为锐角，∴它的大小为．对点增分集训一、单选题1．如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）23小A．B．C．D．【答案】C【解析】设的中点，以，，为，，轴建立坐标系，则，，，，则，，设与成的角为，则，故选C．2．在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，且，若与平面所成的角为，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，建立空间

6、直角坐标系，易求点．平面的一个法向量是，∴，则．故选D．3．如图，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，23小，则空间中两条直线与所成的角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，∵圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，∴可得，，，，则，，设空间两条直线与所成的角为，∴，∴，即直线与所成的角为，故选B．4．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）23小A．B．C．D．【答

7、案】D【解析】由题可知，，，，则，，∵是的中点，∴，设平面的法向量，直线与平面所成角为，则可取，，故选D．5．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是和的中点，点与分别是和上的动点．若，则线段长度的最小值为（）23小A．B．C．D．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，由于，∴，∴，故，∴当时，线段长度取得最小值，且最小值为．故选A．6．如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（）23小A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，平面

8、的一个法向量为：，由空间向量的结论可得：．故选C．7．如图所示，五面体中，正的边长为1，平面，，且．设与平面所成的角为，，若，则当取最大值时，平面与平面所成角的正切值为（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，23小取的中点，则，则平面的一个法向量为，由题意，又由，∴，解得，∴的最大值为，当时，设平面的法向量为，则，取，由平面的法向量为，设平面和平面所成的角为，则，∴，∴，故选C．8．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在