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时间:2019-10-17
《2020高考数学培优《利用空间向量求夹角》(解析版)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、小利用空间向量求夹角1.利用面面垂直建系例1:在如图所示的多面体中,平面平面,四边形为边长为2的菱形,为直角梯形,四边形为平行四边形,且,,.(1)若,分别为,的中点,求证:平面;(2)若,与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1)连接,∵四边形为菱形,∴.∵平面平面,平面平面,平面,,∴平面.又平面,∴.∵,∴.∵,∴平面.∵分别为,的中点,∴,∴平面.(2)设,由(1)得平面,由,,得,.过点作,与的延长线交于点,取的中点,连接,,如图所示,23小又,
2、∴为等边三角形,∴,又平面平面,平面平面,平面,故平面.∵为平行四边形,∴,∴平面.又∵,∴平面.∵,∴平面平面.由(1),得平面,∴平面,∴.∵,∴平面,∴是与平面所成角.∵,,∴平面,平面,∵,∴平面平面.∴,,解得.在梯形中,易证,分别以,,的正方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.则,,,,,,由,及,得,∴,,.设平面的一个法向量为,由得,令,得23小设平面的一个法向量为,由得,令,得.∴,又∵二面角是钝角,∴二面角的余弦值是.2.线段上的动点问题例2:如图,在中,,,,沿将翻折到的
3、位置,使平面平面.(1)求证:平面;(2)若在线段上有一点满足,且二面角的大小为,求的值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1)中,由余弦定理,可得.∴,∴,∴.作于点,∵平面平面,平面平面,∴平面.∵平面,∴.又∵,,∴平面.又∵平面,∴.又,,∴平面.23小(2)由(1)知,,两两垂直,以为原点,以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系,则,,.设,则由,设平面的一个法向量为,则由,取.平面的一个法向量可取,∴.∵,∴.3.翻折类问题例3:如图1,在边长为2的正方形中,为中点,分别将,沿
4、,所在直线折叠,使点与点重合于点,如图2.在三棱锥中,为中点.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求二面角的大小.23小【答案】(1)见解析;(2);(3).【解析】(1)在正方形中,为中点,,,∴在三棱锥中,,.∵,∴平面.∵平面,∴.(2)取中点,连接,取中点,连接.过点作的平行线.∵平面,∴,.∵,为的中点,∴.∴.如图所示,建立空间直角坐标系.,,,.∵,为的中点,∴.23小∵平面,平面,∴平面平面.∵平面平面,平面,∴平面.∵.∴平面的法向量..设直线与平面所成角为,则.
5、∴直线与平面所成角的正弦值为.(3)由(2)知,,.设平面的法向量为,则有即,令,则,.即.∴.由题知二面角为锐角,∴它的大小为.对点增分集训一、单选题1.如图,在所有棱长均为的直三棱柱中,,分别为,的中点,则异面直线,所成角的余弦值为()23小A.B.C.D.【答案】C【解析】设的中点,以,,为,,轴建立坐标系,则,,,,则,,设与成的角为,则,故选C.2.在三棱柱中,底面是边长为1的正三角形,侧棱底面,点在棱上,且,若与平面所成的角为,则的值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】如图,建立空间
6、直角坐标系,易求点.平面的一个法向量是,∴,则.故选D.3.如图,圆锥的底面直径,高,为底面圆周上的一点,23小,则空间中两条直线与所成的角为()A.B.C.D.【答案】B【解析】取中点,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,∵圆锥的底面直径,高,为底面圆周上的一点,,∴可得,,,,则,,设空间两条直线与所成的角为,∴,∴,即直线与所成的角为,故选B.4.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,,平面平面,是的中点,是的中点,则直线与平面所成角的正弦值是()23小A.B.C.D.【答
7、案】D【解析】由题可知,,,,则,,∵是的中点,∴,设平面的法向量,直线与平面所成角为,则可取,,故选D.5.如图,在直三棱柱中,,,点与分别是和的中点,点与分别是和上的动点.若,则线段长度的最小值为()23小A.B.C.D.【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,则,,由于,∴,∴,故,∴当时,线段长度取得最小值,且最小值为.故选A.6.如图,点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上,,平面的法向量为,设二面角的大小为,则()23小A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可知,平面
8、的一个法向量为:,由空间向量的结论可得:.故选C.7.如图所示,五面体中,正的边长为1,平面,,且.设与平面所成的角为,,若,则当取最大值时,平面与平面所成角的正切值为()A.B.1C.D.【答案】C【解析】如图所示,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,23小取的中点,则,则平面的一个法向量为,由题意,又由,∴,解得,∴的最大值为,当时,设平面的法向量为,则,取,由平面的法向量为,设平面和平面所成的角为,则,∴,∴,故选C.8.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在
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