选修4-1第1节

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1、几何证明选讲选修4-1第一节相似三角形的判定及有关性制质考纲要求1.了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理．2.能使用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质解答与线段长度有关的问题.主干回顾·夯基础一、平行线等分线段定理1．定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也_____．2．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_____________．3．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线__________．相等平分第三边平分另一腰二、平行线分线段成比例定理

2、1．定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段________．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段________．三、相似三角形的判定及性质1．定义：如果在两个三角形中，对应角_____、对应边______，则这两个三角形叫做相似三角形．成比例成比例相等成比例2．判定定理内容判定定理1两角对应相等，两三角形相似判定定理2______对应成比例且______相等两三角形相似判定定理3______对应成比例两三角形相似两边夹角三边3．性质定理内　容性质定理1相似三角形对应____的比、

3、对应_______的比和对应_____________的比都等于相似比性质定理2相似三角形______的比等于相似比性质定理3相似三角形的面积比等于相似比的_____结论相似三角形外接圆的________、________等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的____中线角平分线高周长平方直径比周长比平方四、直角三角形的射影定理定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的__________；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的__________．比例中项比例中项1．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于

4、F，写出图中所有与△ACE相似的三角形________．解析：△FCD、△FBE、△ABD根据相似三角形的判定定理易得结论．2．(课本习题改编)如图，AB∥EM∥DC.AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，则BC的长为________cm.解析：24由AB∥EM∥DC及AE＝ED知，M为BC的中点．又EF∥BC，所以EF＝MC＝12cm.所以BC＝2MC＝24cm.3.(2014·西安模拟)如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．5.如图，F

5、为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于点G，E，EF＝16，GF＝12，则BE的长为()A．6B．8C．12D．15解析：选B由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8，故选B.考点技法·全突破(1)(2014·佛山检测)如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F.若AD＝3AE，则AF∶FC＝________.平行线分线段成比例定理的应用解析：1∶4∵AD＝3AE，∴点E是AD的三等分点．取ED的中点G，连接BG，

6、过D点作DN∥BG，交AC于点O，交BC于点N.∴EM∥BG∥DN.易得AC在一组等距离平行线中，∴AF∶FC＝1∶4.(2)如图，F为▱ABCD边AB上一点，连接DF交AC于G，延长DF交CB的延长线于E.求证：DG·DE＝DF·EG.1．比例线段常由平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而又必须转移比例时，常通过添加辅助平行线达到转移比例的目的．2．利用平行线分线段成比例定理解决问题时，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式1.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥

7、CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．(1)(2011·陕西高考)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.相似三角形的判定和性质1．相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系是解题的关键．2．相似三角形的性质可用来考查与相似三角形相关的元素，如三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的直径等．3．相似三角形的问题常与圆结合在一起考查，解题时要注意圆中的有关角及成比例线段

8、的运用．2．(2012·新课标全国高考)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，求证：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知