2015高考数学优化指导选修4-1第2节

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1、第二节直线与圆的位置关系考纲要求1.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理．2.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.主干回顾·夯基础一、圆周角定理1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______．推论1：同弧或等弧所对的圆周角_____．推论2：直径(或半圆)所对的圆周角是_____．推论3：等于直角的圆周角所对的弦是圆的_____．一半相等直角直径2．圆心角定理定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆

2、中，相等的圆周角所对的弧也______．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______．相等直角直径二、圆的切线的判定与性质1．圆的切线的定义：如果一条直线与一圆只有_____公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，________叫做切点．2．圆的切线的判定定理：经过圆的半径的____且垂直于这条半径的____是圆的切线．3．圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．4．弦切角定理：弦切角等于

3、它所夹的弧所对的圆周角．一个公共点外端直线三、圆内接四边形的性质与判定定理1．性质定理定理1：圆内接四边形的对角_____．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的______．2．判定定理判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点_____．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_____．互补对角共圆共圆四、与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝________(2)△ACP∽________(1)在PA、PB、P

4、C、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝________(2)△PAC∽_______(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD(2)应用相似求AC、BDPC·PD△DBPPC·PD△PDB定理名称基本图形条件结论应用切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝__________(2)△PAB∽_______(1)已知PA、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切线长定理PA、PB是⊙O的切线(1)PA＝_____(2)∠OPA＝_______(1)证线段

5、相等，已知PA求PB(2)求角PB·PC△PCAPB∠OPB1.(课本习题改编)如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，PA＝AB＝，CD＝3，则PC＝________.2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D的度数为______．解析：125°连接BD，则∠MAB＝∠ADB＝35°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，所以∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°.4．如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，C

6、D＝6，则线段AC的长为________．考点技法·全突破(1)(2013·广东高考)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.圆周角、弦切角和圆的切线问题(2)(2013·辽宁高考)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.求证：①∠FEB＝∠CEB；②EF2＝AD·BC.证明：①由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.因为AB为⊙O的直径，所以AE⊥E

7、B，从而∠EAB＋∠EBF＝90°；又EF⊥AB，所以∠FEB＋∠EBF＝90°，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.②由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.同理Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意利用弦切角的转化作用；对于条件中出现圆

8、周上的点的问题，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．1．(2011·广东高考)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.如图所示，A，B，C，D四点