选修4-1第1节

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1、选修4-1第一节1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝，则CD＝______，BC＝______.解析：3　　在Rt△ADC中，由sin∠ACD＝＝，AD＝4，可得AC＝5，所以CD＝＝3.在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得CD2＝AD·DB，所以DB＝＝，所以BC2＝BD·AB＝×＝，所以BC＝.2．(2013·陕西高考)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝____

2、____.解析：　由PE∥BC知，∠A＝∠C＝∠PED，在△PDE和△PEA中，∠P＝∠P，∠A＝∠PED，故△PDE∽△PEA，所以PD∶PE＝PE∶PA.因此PE2＝PA·PD＝3×2＝6，则PE＝.3．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，则BM－DN＝________.解析：6　∵四边形ABCD为平行四边形，E、F为BD的三等分点，∴＝＝，即M为BC的中点，又＝＝，即DN＝BM，∴BM－DN＝12－6＝6.4．(2014·广州市三校联考)在△ABC中，D是边AC

3、的中点，点E在线段BD上，且满足BE＝BD，延长AE交BC于点F，则的值为________．解析：　取FC的中点G，连接DG，则AF∥DG，∴＝＝，∴＝.5．Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，则tan∠BCD＝________.解析：　由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶9，令BD＝x，则AD＝9x(x>0)．∴CD2＝9x2，∴CD＝3x.Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.6．(2014·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12

4、，则EF＝________.解析：3　由EF∥CD，得＝.①由EF∥AB，得＝.②以上两式两边分别相除，得＝＝，∴＝.∴EF＝CD＝3.7.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，则AC∶BC＝________.解析：3∶2　方法一：因为∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，所以由射影定理，得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，所以2＝＝.因为AD∶BD＝9∶4，所以AC∶BC＝3∶2.方法二：因为AD∶BD＝9∶4，所以设AD＝9k，BD＝4k，k>0.又

5、∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，所以由射影定理得CD2＝AD·BD＝36k2.所以CD＝6k.由勾股定理得AC＝＝3k和BC＝＝2k，所以AC∶BC＝3∶2.8.如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．解析：1∶　∵E为AB中点，∴＝，即AE＝AB，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝AB，又Rt△AED∽Rt△ACB，所以相似比为＝＝.故△ADE与△ABC的相似比为1∶.9.(2014·黄冈质检)如图，在△ABC中，∠A＝9

6、0°，正方形DEFG的边长是6cm，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝3cm，则BC＝________cm.解析：21　∵四边形DEFG是正方形，∴∠GDB＝∠FEC＝90°，GD＝DE＝FE＝6cm，又∵∠B＋∠C＝90°，∠B＋∠BGD＝90°，∴∠C＝∠BGD，∴△BGD∽△FCE，∴＝，即BD＝＝12cm，∴BC＝BD＋DE＋EC＝21cm.10.如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，S△DOE＝9cm2，S△AOB＝________.解析：36cm2　∵在▱ABCD中，

7、AB∥DE，∴△AOB∽△EOD，∴＝2.∵E是CD的中点，∴DE＝CD＝AB，则＝2，∴＝22＝4，∴S△AOB＝4S△DOE＝4×9＝36cm2.11.如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于M，则BM＝________，CG＝________.解析：4　15　∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，∴＝，＝.∴＝，∴BM＝4.取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，如图，则PQ是梯形ADHE的中位线，∴PQ＝(AE＋DH)＝

8、(12＋16)＝14.同理CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15.12.在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC.DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F，S△FCD＝5，BC＝10，则DE＝________.解析：　过点A作AM⊥BC于M，由于∠B＝∠ECD，且∠ADC＝∠ACD，得△ABC∽△FCD，所以＝2＝4，又S△FCD＝5，所以S△ABC＝20，由于S△ABC＝BC·AM，由BC＝10，得AM＝4，又因为DE∥AM，得