超越数存在性证明与判断研究-张莹

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1、2009年第36期经济研究导刊No．36，2009总第74期ECONOMICRESEARCHGUIDESerialNo．74超越数存在性证明与判断研究张莹（无锡机电高等职业技术学校机电工程系，江苏无锡214028）摘要：由于有理数域在无限这方面存在不完备，CANTOR构造了实数系统，使实数域完备。从而引起人们对超越数的观察，在证明了超越数的存在性后，CANTOR给出了一种简单构造超越数的方法，刘维尔和林德曼也做了相关研究，e和π是目前所发现的大量超越数中最常接触到的两个。关键词：超越数；代数数；CANTOR证明；构造判断；超越性中图分

2、类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1673－291X（2009）36－0276-03εε-q

3、+

4、q-q

5、<+=ε。所以｛q｝也是一个有理数基本引言n0m022n序列。数起源于数，一个一个地数，也就有了自然数。然而，自现在要问：“如果｛q｝是一个有理数基本序列，是否也一从人类从原始社会开始计数起，直到19世纪以前的漫长历n史中，几乎没有人感到需要给数加以严格的定义。随着数学定收敛到一个确定的有理数呢？”回答是否定的。的发展———尤其是十七八世纪，数学分析蓬勃发展———到了考察有理数基本序列{q*}，其中：q*=1+1+1+nn

6、1！2！19世纪，由于分析学本身逻辑基础不严密，在前进中出现了11+……，n=1,2,3,......这里给出的{q*}是一个有理数的困境，特别是B.Bolzano，K.Weierstrass，B.Riemann等人先后举3！n！n出了处处连续而不可微函数的例子，使数学界大为震惊。人基本序列，但是不收敛于任何一个有理数。们感到不能把分析学的理论系统建筑在不可靠的几何与物（二）CANTOR实数系统的构造理的直观臆想上，而必须建立在严密的逻辑基础上。也就是正因为有理数域有着本质上的缺隙———“不完备”性，就说，数学分析的理论奠基，必须有严

7、格的实数理论。1889年，决定了有理数域不能作为分析学立论的基础，而必须寻求新在意大利数学家G.Deano给出了自然数公理的基础上，迅速的数系来满足严格的分析学立论的逻辑基础的需要。下面就地将其扩张到整数环以至扩张到有理数域。终于，在19世纪对实数的Cantor构造加以阐述。末，德国数学家G.Cantor使用有理数基本序列建立了实数理1.在全体有理数基本序列｛q｝所组成的集合M上引入n论。在此同时，另一位德国数学家R.Dedekind用有理数的分下述定义：有理数基本序列的等价：设｛q（1）｝与｛q（2）｝都是有nn割从另一侧面对实数进

8、行了构造。理数基本序列，如果lim（q（1）-q（2））=0。就称｛q（1）｝与｛q（2））｝nnnnn→∞一、实数系统的构造是等价的。记为｛q（1）｝～｛q（2）｝。nn（一）有理数域的不完备性2.实数定义：有理数基本序列的集合M按等价关系“～”有理数域是一个对加、乘及其运算的逆—减与除四种运划分的每一个等价类称为一个实数。我们用R表示全体实数算封闭的、稠密的有序域，如果从有限的算术角度看，有理数的集合。域已是很完美的数系了。但是，从分析方面考虑，分析学的最3.有理实数：设q0是一个有理数，则每一项都等于q0的基本的极限运算下，有理

9、数域却不是一个封闭的数域，也就序列｛q｝确定一个M的等价类。这个类里的任一有理数基0（n）是说，有理数域是“不完备”的。可以证明一个收敛的有理数本序列都以q为极限。从而，可把该等价类看成是由有理数0序列，一定是有理数基本序列。事实上，若limq=q，则对任给n0n→∞q生成的，它所确定的实数就称为有理实数。0的正有理数ε，都有自然数n，当自然数n>n时，有

10、q-q

11、00n04.无理实数：如果有理数基本序列｛q｝没有有理数的极n<ε，于是，当n>n，m>n时，有

12、q-q

13、=

14、q-q+q-q

15、<

16、q限，就称以它为代表的等价类所确定的实数是

17、无理实数。例200nmn00m收稿日期：2009-06-28作者简介：赵艳（1971-），女，黑龙江佳木斯人，工作人员，从事财政学研究。—276—1111是否是完备的呢？经过证明得到的回答是肯定的。如，有理序列｛q*｝，其中q*=1++++……nn1！2！3！n！的等价类所确定的实数，就是无理实数一自然对数的底e。二、代数数与超越数5.实数的加法与乘法：设实数α、β是以有理数基本序（一）超越数存在性的CANTOR证明列｛q（1）｝与｛q（2）｝为代表的等价类，称以｛q（1）+q（2）｝及｛q（1）nnnnnCANTOR对超越数存在性的

18、证明主要是基于以下事实，·q（2）｝为代表的有理数基本序列的等价类分别为实数α同n即实代数数是组成了一个可数集合，而实超越数集是不可数β的和与乘积，记作α+β与α·β。的。6.正有理数基本序列：有理数基本序列｛gn｝称为