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1、442004年第10期数学通报代数数与超越数王兴东(江苏南通师范学校226006)1什么是代数数性质给出了实代数数所必须满足的一个必要条纪元前600年左右,古希腊的毕达哥拉斯件,凡不满足这一条件的实数必定不是代数数,(Pythagoras)学派证明了正方形的对角线与其边刘维尔根据这一原理构造了第一个超越数,即∞长之间的比不能用一个分数表示,即不可公度性,-k!ζ=∑10.这是历史上第一次发现无理数.无理数究竟是些k=1什么样的数呢?因为第一个无理数可以从代数方2.2继刘维尔之后,1873年法国数学家厄尔米2程x-2=0中得到,这就引导人们进一步考察一特(C.He
2、rmite1822-1901)应用微积分的工具,般的代数方程及研究它们的根.证明了数e为一超越数.他的主要想法如下:一般地,我们有如下的定义:若数ζ(ζ∈R)首先引进了一个函数n满足有理系数代数方程(i)①n-1F(x)=∑f(x),其中f(x)为n次多xn+a1x+…+an-1x+an=0i=0则ζ叫做一个代数数.若ζ所满足的最低次项式.的代数方程的次数是n,则ζ叫做n次代数数.则利用分部积分法不难得出bbb-xb显然,对于任何有理数(a,b∈R,a≠0)ef(x)edx=eF(0)-F(b),记为a∫0都是一次方程ax-b=0的根,所以有理数都是(1).n代
3、数数,当然,形如a(a∈R),a+bi(a,b∈R)又反设e满足m次整系数不可约方程的数也都是代数数.mi代数数有个重要性质:由所有代数数组成的∑aix=0,为了导出矛盾,选择i=0集合对于普通的加减乘除运算来说都是封闭的,m1p-1p也就意味着代数数集合构成了一个域.代数数域f(x)=(p-1)!x∏(x-i),其中pi=0可以看作由有理数域扩张所得到的,这样就自然为素数,f(x)的次数n=mp+p-1.将所选的产生了一个新的问题:代数数域是否已经包含了f(x)代入恒等式(1),并令b=i(i=0,1,…,所有的无理数?有没有超越于代数数之外的无理m),再在(
4、1)两端同乘以ai,然后按i迭加,得:数存在呢?mmii-x2.超越数的研究历程∑aie∫f(x)edx=-∑aiF(i)-a0F(0),i=00i=0如果把不是代数数的复数叫做超越数,是否记为(2).接下来可以证明当素数p选得足够存在超越数?早在1744年,瑞士数学家欧拉(Euler大,有下列三点事实:1703-1783)已经预见了它的存在.从19世纪中叶1)F(i)是可被p整除的整数(i=1,2,…,m);起,人们才逐步揭开了超越数的神秘面纱,并有过2)F(0)是一个不能被p整除的整数,从而许多重大突破,现择要列举如下:推知(2)的右边为一非零整数;2.11
5、851年法国数学家刘维尔(J.Liouville3)(2)的左边绝对值小于1,从而导致矛盾.1809-1882)得到了代数数的一个有理逼近性具体证明略.质,即如果ζ是一实n次代数数,则只存在有限2.31874年德国年轻数学家康托(Cantor1845pp1个有理数满足ζ-≤n+1(q>0).该-1918)发表了题为《关于一切实代数数的一个qqq性质》的论文,证明了所有代数数组成一个可(i)①f(x)表示f(x)的i阶导数.2004年第10期数学通报45数集,即代数数集可以与自然数集之间建立一一立方体问题无解.在三等分任意角问题中,我们对应的关系.同时他又证明了全
6、体实数集是一个只需证明三等分60°角不可能,而三等分60°角不能与可数集建立一一对应关系的无限集,由此的问题等价于作出x=cos20°的边长,由三倍角立即推出实数集中一定存在超越数,而全体实数31公式cos3θ=4cosθ-3cosθ即知x是方程=是不可数的,这也说明了几乎所有的实数都是超2越数!3314x-3x的根,但是4x-3x-是有理数域上下面我们来了解关于“代数数集合是可数集”2n的不可约多项式,因此cos20°也是一个三次代的一个简单证明:定义N=n+∑ai为整系数数,不能用尺规作出,所以三等分任意角也是i=0n无解的.i数不可约n次多项式f(x)=∑
7、aix的指标,于i=0在化圆为方问题中,取圆的半径为1,则面是,任意一个整系数不可约n次多项式都对应有2积为π,又设正方形的边长为x,那么x=π,即唯一的一个指标N,反之,以自然数N(N≥2)为③x=π.由π是超越数易知,π也为超越数,指标的不可约的多项式的个数是有限的,而每个所以π是不能用圆规直尺通过有限步骤作出不可约多项式都包含有限个根,由代数数的定义的,从而化圆为方问题无解.知道,这些根都是代数数,于是每个指标N都对2.5继厄尔米特和林德曼的工作之后,人们自应有限个代数数.现在我们历数所有的指标N=然提出了这样的问题:对于一般的三角函数、反2,3,4,…,
8、而对于每一N,将其对应的
