初等数论 第八章 代数数与超越数

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1、第八章代数数与超越数我们对于全体复数有不同的分类方法。例如，可以将它们分为整数和非整数，有理数和非有理数（无理数），实数和非实数，等等。本章要介绍一种对复数的分类方法：代数数与超越数，并且介绍这两类数的一些简单知识。以下，若无特殊声明，“数”都是指一般意义下的复数。第一节代数数定义1若a满足有理系数代数方程f(x)=xn+an-1xn-1+L+a1x+a0=0，(1)即a是有理系数多项式f(x)的零点，则称a是代数数；若an-1,...,a0都是整数，则称a是代数整数。例如，,（a，b，n是正整数）是代数数；是代数整数。容易看出，定

2、义1等价于下面的定义1’。定义1’设a满足整系数代数方程f(x)=anxn+an-1xn-1+L+a1x+a0=0，(2)则称a是代数数；若an=1，则称a是代数整数。定义2一个有理系数多项式若不能等于两个非常数的有理系数多项式的乘积，则称为不可约多项式。在定义1’中，若f(x)是不可约多项式，并且(a0,…,an)=1，则称a是n次代数数，记为d(a)=n,并称h=h(a)=max(

3、a0

4、,…,

5、an

6、)是它的高。定理1两个代数数的和、差、积、商（分母不为零）是代数数。证明设α和β是代数数，它们分别是有理系数多项式177f(x)

7、=xn+an-1xn-1+L+a1x+a0和g(x)=xm+bm-1xm-1+L+b1x+b0的零点。设f(x)和g(x)的全部零点分别是α1,…,αn和β1,…,βm,则α+β是多项式的零点。显然，多项式h(x)的系数是α1,…,αn与β1,…,βm的对称多项式。因此，由对称多项式的性质，h(x)是有理系数多项式，即α+β是代数数。同样地可以证明α-β,,以及是代数数（留作习题）。证毕。定理2若a是代数数，则存在正整数m,使得ma是代数整数。证明（留作习题）。定理3设a≠0是代数数,满足方程（2），则<

8、a

9、

10、=max(

11、a0

12、,…,

13、an

14、)。证明若a≠0满足方程（2），则满足方程a0xn+a1xn-1+L+an-1x+an=0,因此，我们只需证明式(3)的右半部分。如果

15、a

16、

17、a

18、³h+1。(4)下面要说明，由此会推出一个矛盾。事实上，由anan+an-1an-1+L+a1a+a0=0我们得到。177由此，利用式(4)及1≤

19、ai

20、£h，0£i£n，(5)我们得到这与式(4)矛盾。这个矛盾说明式(4)不可能成立。证毕。例1设a是代数数，满足整系数代数方程f(x)=adxd+ad-1xd-1+L+a1x+a0=0，则对

21、于任何正整数n，有等式(ada)n=，其中（0£i£d-1）是绝对值不超过(2max(

22、a0

23、,…,

24、an

25、))n的整数。证明用归纳法。记h=max(

26、a0

27、,…,

28、an

29、)。当n£d-1时，结论显然正确。假设结论当n=k（k³d-1）时成立，则存在整数（0£i£d-1），使得(ada)k=。(6)于是记177则(ada)k+1=，因此，由式(6)得到

30、

31、£2h(2h)k=(2h)k+1，即当n=k+1时结论成立。由归纳法证得例1中的结论。例2设数a¹0，并且满足方程xn+a1xn-1+L+an-1x+an=0，(7)其中a1,a2

32、,L,an是任意的实数，并且

33、ai

34、£i，1£i£n，(8)则

35、a

36、£。解不妨设

37、a

38、>1。设l>1是任意固定的常数。如果

39、a

40、>l，(9)那么，由式(7)，(8)及(9)，得到an+a1an-1+L+an-1a+an=0以及

41、an

42、£

43、a1

44、

45、an-1

46、+L+

47、an-1

48、

49、a

50、+

51、an

52、，

53、a

54、£

55、a1

56、+

57、a2

58、

59、a

60、-1+L+

61、an-1

62、

63、a

64、-n+2+

65、an

66、

67、a

68、-n+1£1+2

69、a

70、-1+L+(n-1)

71、a

72、-n+2+n

73、a

74、-n+1<。（10）这样，若取l使得，(11)那么，式(10)就与式(9)矛盾，因此，式(9)不

75、能成立，所以

76、a

77、£l。从式177(11)容易求出l=，这就是要证的结论。注：从这个例子中，可以看出式(3)中的h+1是如何确定出来的。习题一1.补足定理1的证明。2.证明定理2。3.证明：有理数为代数整数的充要条件是这个有理数为整数。第二节超越数除了代数数还有一类数，即超越数。本节将对代数数的有理逼近性质做一简单介绍，并构造一类超越数。定义1不是代数数的数，称为超越数。定理1超越数是存在的。证明用En,h表示所有的次数为n、系数绝对值不超过h的整系数多项式的零点的集合，用A表示所有代数数的集合，则。由于每个En,h是有限集合，所以

78、A是一个可数集合。但是，全体复数的集合是不可数集合，因此，超越数是存在的。证毕。这个定理肯定了超越数的存在性，但并未确切地举出超越数的例子。为了能构造一些具体的超越数，我们来证明一个定理。定理1(Liouville)设a是次数为d的实