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1、课后答案网www.khdaw.com《初等数论》习题集第1章第1节1.证明定理1。2.证明：若m−p⏐mn+pq，则m−p⏐mq+np。3.证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。3n，则n4.设p是n的最小素约数，n=pn1，n1>1，证明：若p>1是素数。5.证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为2a+p（a>0是整数，p为素数）的形式。第2节4321.证明：12⏐n+2n+11n+10n，n∈Z。222.设3⏐a+b，证明：3⏐a且3⏐b。kk+43.设n，k是正整数
2、，证明：n与n的个位数字相同。2224.证明：对于任何整数n，m，等式n+(n+1)=m+2不可能成立。425.设a是自然数，问a−3a+9是素数还是合数？6.证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。第3节1.证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。2.证明定理2的推论1,推论2和推论3。3.证明定理4的推论1和推论3。4.设x，y∈Z，17⏐2x+3y，证明：17⏐9x+5y。225.设a，b，c∈N，c无平方因子，a⏐bc，证明：a⏐b。132n−16.设n是正整数，求C2n,C2n,L,C2n的
3、最大公约数。第4节1.证明定理1。2.证明定理3的推论。3.设a，b是正整数，证明：(a+b)[a,b]=a[b,a+b]。4.求正整数a，b，使得a+b=120，(a,b)=24，[a,b]=144。1课后答案网www.khdaw.com5.设a，b，c是正整数，证明：22[a,b,c](a,b,c)=。[a,b][b,c][c,a](a,b)(b,c)(c,a)kkk6.设k是正奇数，证明：1+2+L+9⏐1+2+L+9。第5节1.说明例1证明中所用到的四个事实的依据。2.用辗转相除法求整数x，y，使得1387x−162y=(1
4、387,162)。3.计算：(27090,21672,11352)。4.使用引理1中的记号，证明：(Fn+1,Fn)=1。5.若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？n6.记Mn=2−1，证明：对于正整数a，b，有(Ma,Mb)=M(a,b)。第6节1.证明定理1的推论1。2.证明定理1的推论2。3.写出22345680的标准分解式。4.证明：在1,2,L,2n中任取n+1数，其中至少有一个能被另一个整除。115.证明：1++L+（n≥2）不是整数。2n
5、6.设a，b是正整数，证明：存在a1，a2，b1，b2，使得a=a1a2，b=b1b2，(a2,b2)=1，并且[a,b]=a2b2。第7节1.证明定理1。k2.求使12347!被35整除的最大的k值。∞n+2r−13.设n是正整数，x是实数，证明：∑[]=n。rr=124.设n是正整数，求方程222x−[x]=(x−[x])在[1,n]中的解的个数。5.证明：方程2345f(x)=[x]+[2x]+[2x]+[2x]+[2x]+[2x]=123452课后答案网www.khdaw.com没有实数解。6.证明：在n!的标准分解式中，2
6、的指数h=n−k，其中k是n的二进制表示的位数码之和。第8节n1.证明：若2+1是素数，则n是2的乘幂。n2.证明：若2−1是素数，则n是素数。3.证明：形如6n+5的素数有无限多个。4.设d是正整数，6/
7、d，证明：在以d为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发生一次。5.证明：对于任意给定的正整数n，必存在连续的n个自然数，使得它们都是合数。∞16.证明：级数∑发散，此处使用了定理1注2中的记号。n=1pn第2章第1节1.证明定理1和定理2。2.证明定理4。3.证明定理5中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。12344.求8被13除的
8、余数。5.设f(x)是整系数多项式，并且f(1),f(2),L,f(m)都不能被m整除，则f(x)=0没有整数解。6.已知99⏐62αβ427，求α与β。第2节1.证明定理1。2.证明：若2p+1是奇素数，则2p(p!)+(−1)≡0(mod2p+1)。3.证明：若p是奇素数，N=1+2+L+(p−1)，则(p−1)!≡p−1(modN)。4.证明Wilson定理的逆定理：若n>1，并且(n−1)!≡−1(modn)，则n是素数。5.设m是整数，4⏐m，{a1,a2,L,am}与{b1,b2,L,bm}是模m的两个完3课后答案网ww
9、w.khdaw.com全剩余系，证明：{a1b1,a2b2,L,ambm}不是模m的完全剩余系。6.设m1,m2,L,mn是两两互素的正整数，δi（1≤i≤n）是整数，并且δi≡1(modmi)，1≤i≤n，δi≡0(modmj)，i
