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1、附录1习题参考答案第一章习题一1.(ⅰ)由a½b知b=aq,于是b=(-a)(-q),-b=a(-q)及-b=(-a)q,即-a½b,a½-b及-a½-b。反之,由-a½b,a½-b及-a½-b也可得a½b;(ⅱ)由a½b,b½c知b=aq1,c=bq2,于是c=a(q1q2),即a½c;(ⅲ)由b½ai知ai=bqi,于是a1x1+a2x2+L+akxk=b(q1x1+q2x2+L+qkxk),即b½a1x1+a2x2+L+akxk;(ⅳ)由b½a知a=bq,于是ac=bcq,即bc½ac;(ⅴ)由b½a知a=bq,于是
2、
3、a
4、=
5、b
6、
7、q
8、,再由a¹0得
9、q
10、³1,从而
11、a
12、³
13、b
14、,后半结论由前半结论可得。2.由恒等式mq+np=(mn+pq)-(m-p)(n-q)及条件m-p½mn+pq可知m-p½mq+np。3.在给定的连续39个自然数的前20个数中,存在两个自然数,它们的个位数字是0,其中必有一个的十位数字不是9,记这个数为a,它的数字和为s,则a,a+1,L,a+9,a+19的数字和为s,s+1,L,s+9,s+10,其中必有一个能被11整除。4.设不然,n1=n2n3,n2³p,n3³p,于是n=pn2n3³p3,即p£,矛盾。5
15、.存在无穷多个正整数k,使得2k+1是合数,对于这样的k,(k+1)2不能表示为a2+p的形式,事实上,若(k+1)2=a2+p,则(k+1-a)(k+1+a)=p,得k+1-a=1,k+1+a=p,即p=2k+1,此与p为素数矛盾。第一章习题二1.验证当n=0,1,2,…,11时,12
16、f(n)。2.写a=3q1+r1,b=3q2+r2,r1,r2=0,1或2,由3½a2+b2=3Q+r12+r22知r1=r2=0,即3½a且3½b。3.记n=10q+r,(r=0,1,…,9),则nk+4-nk被10除的余数和rk+4-r
17、k=rk(r4-1)被10除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。4.对于任何整数n,m,等式n2+(n+1)2=m2+2322的左边被4除的余数为1,而右边被4除的余数为2或3,故它不可能成立。5因a4-3a2+9=(a2-3a+3)(a2+3a+3),当a=1,2时,a2-3a+3=1,a4-3a2+9=a2+3a+3=7,13,a4-3a2+9是素数;当a³3时,a2-3a+3>1,a2+3a+3>1,a4-3a2+9是合数。6.设给定的n个整数为a1,a2,L,an,作s1=a1,s2=a1+a2,L,sn=
18、a1+a2+L+an,如果si中有一个被n整除,则结论已真,否则存在si,sj,i19、a
20、是等价的,所以a1,a2,L,ak的公约数的集合与
21、a1
22、,
23、a2
24、,L,
25、ak
26、的公约数的集合相同,所以它们的最大公约数相等;(ⅱ),(ⅲ)显然;(ⅳ)设(p,a)=d,则d½p,d½a,由d½p得d=1或d=p,前者推出(p,a)=1,后者推出p½a。2.(ⅰ)由d½ai推出d½y0=(a1,a2,L,ak);(ⅱ)分别
27、以y0和Y0表示集合A={y;y=,xiÎZ,1£i£k}和A*={y;y=,xiÎZ,1£i£k}中的最小正整数,显然有Y0=
28、m
29、y0;(ⅲ)在推论2中取m=d,并用代替a1,a2,L,ak即可。3.(ⅰ)若pa,则(p,a)=1,从而由p½ab推出p½b;(ⅱ)在(ⅰ)中取a=b可得;(ⅲ)(a,b1b2Lbn)=(a,b2Lbn)=L=(a,bn)=1。4.由恒等式9(2x+3y)-2(9x+5y)=17y及17½2x+3y得17½2(9x+5y),又(17,2)=1,故17½9x+5y。5.设(a,b)=d,则a=
30、da1,b=db1,(a1,b1)=1,由a2½b2c得a12½b12c,a12½c,因为c无平方因子,所以a1=1,a=d,b=ab1,即a½b。6.设知d½22n-1,设2k
31、n并且2k+1不整除n,由2k+1
32、
33、,i=3,5,L,2n-1,得d=2k+1。232第一章习题四1.(ⅰ),(ⅱ)显然;(ⅲ)设m1=[a1,a2,L,ak],m2=[
34、a1
35、,
36、a2
37、,L,
38、ak
39、],则由ai½m1推出
40、aI
41、½m1,即m2½m1,同理可得m1½m2,故m1=m2;(ⅳ)显然a½
42、b
43、,b½
44、b
45、,又若a½m¢,b½m¢,m
46、¢>0,则
47、b
48、£m¢,故有[a,b]=
49、b
50、。2.设m是a1,a2,L,an的任一个公倍数,由a1½m,a2½m知[a1,a2]=m2½m,由m2½m,a3½m知[m2,a3]=m3½m,L,由mn-1½m,an½m知[mn-1,an]=mn½m,即[a1,a2,L,an]½m。3.只须