初等数论习题答案

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1、附录1习题参考答案第一章习题一1.(ⅰ)由a½b知b=aq，于是b=(-a)(-q)，-b=a(-q)及-b=(-a)q，即-a½b，a½-b及-a½-b。反之，由-a½b，a½-b及-a½-b也可得a½b；(ⅱ)由a½b，b½c知b=aq1，c=bq2，于是c=a(q1q2)，即a½c；(ⅲ)由b½ai知ai=bqi，于是a1x1+a2x2+L+akxk=b(q1x1+q2x2+L+qkxk)，即b½a1x1+a2x2+L+akxk；(ⅳ)由b½a知a=bq，于是ac=bcq，即bc½ac；(ⅴ)由b½a知a=bq，于是

2、a

3、=

4、b

5、

6、q

7、，再由a¹0

8、得

9、q

10、³1，从而

11、a

12、³

13、b

14、，后半结论由前半结论可得。2.由恒等式mq+np=(mn+pq)-(m-p)(n-q)及条件m-p½mn+pq可知m-p½mq+np。3.在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a,a+1,L,a+9,a+19的数字和为s,s+1,L,s+9,s+10，其中必有一个能被11整除。4.设不然，n1=n2n3，n2³p，n3³p，于是n=pn2n3³p3，即p£，矛盾。5.存在无穷多个正整数k，使得2k+1是合数，对于这样的k，(

15、k+1)2不能表示为a2+p的形式，事实上，若(k+1)2=a2+p，则(k+1-a)(k+1+a)=p，得k+1-a=1，k+1+a=p，即p=2k+1，此与p为素数矛盾。第一章习题二1.验证当n=0,1，2，…,11时，12

16、f(n)。2.写a=3q1+r1，b=3q2+r2，r1,r2=0,1或2，由3½a2+b2=3Q+r12+r22知r1=r2=0，即3½a且3½b。3.记n=10q+r,(r=0,1,…,9)，则nk+4-nk被10除的余数和rk+4-rk=rk(r4-1)被10除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。4.对于任何整数

17、n，m，等式n2+(n+1)2=m2+2322的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。5因a4-3a2+9=(a2-3a+3)(a2+3a+3)，当a=1，2时，a2-3a+3=1，a4-3a2+9=a2+3a+3=7，13，a4-3a2+9是素数；当a³3时，a2-3a+3>1，a2+3a+3>1，a4-3a2+9是合数。6.设给定的n个整数为a1,a2,L,an，作s1=a1，s2=a1+a2，L，sn=a1+a2+L+an，如果si中有一个被n整除，则结论已真，否则存在si，sj，i

18、于是n½sj-si=ai+1+L+aj。第一章习题三1.(ⅰ)因为d½a和d½

19、a

20、是等价的，所以a1,a2,L,ak的公约数的集合与

21、a1

22、,

23、a2

24、,L,

25、ak

26、的公约数的集合相同，所以它们的最大公约数相等；(ⅱ)，(ⅲ)显然；(ⅳ)设(p,a)=d，则d½p，d½a，由d½p得d=1或d=p，前者推出(p,a)=1，后者推出p½a。2.(ⅰ)由d½ai推出d½y0=(a1,a2,L,ak)；(ⅱ)分别以y0和Y0表示集合A={y；y=，xiÎZ，1£i£k}和A*={y；y=，xiÎZ，1£i£k}中的最小正整数，显然有Y0=

27、m

28、y0；(ⅲ)在推

29、论2中取m=d，并用代替a1,a2,L,ak即可。3.(ⅰ)若pa，则(p,a)=1，从而由p½ab推出p½b；(ⅱ)在(ⅰ)中取a=b可得；(ⅲ)(a,b1b2Lbn)=(a,b2Lbn)=L=(a,bn)=1。4.由恒等式9(2x+3y)-2(9x+5y)=17y及17½2x+3y得17½2(9x+5y)，又(17,2)=1，故17½9x+5y。5.设(a,b)=d，则a=da1，b=db1，(a1,b1)=1，由a2½b2c得a12½b12c，a12½c，因为c无平方因子，所以a1=1，a=d，b=ab1，即a½b。6.设知d½22n-1，设2k

30、

31、n并且2k+1不整除n，由2k+1

32、

33、，i=3,5,L,2n-1，得d=2k+1。232第一章习题四1.(ⅰ)，(ⅱ)显然；(ⅲ)设m1=[a1,a2,L,ak]，m2=[

34、a1

35、,

36、a2

37、,L,

38、ak

39、]，则由ai½m1推出

40、aI

41、½m1，即m2½m1，同理可得m1½m2，故m1=m2；(ⅳ)显然a½

42、b

43、，b½

44、b

45、，又若a½m¢，b½m¢，m¢>0，则

46、b

47、£m¢，故有[a,b]=

48、b

49、。2.设m是a1,a2,L,an的任一个公倍数，由a1½m，a2½m知[a1,a2]=m2½m，由m2½m，a3½m知[m2,a3]=m3½m，L，由mn-1½m，

50、an½m知[mn-1,an]=mn½m，即[a1,a2,L,an]½m。3.只须