2019_2020学年高中数学穿越自测（含解析）新人教A版选修1_1

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1、穿越自测一、选择题1．[2017·全国卷Ⅰ·文5，本题考查了双曲线的标准方程和性质，考查了数形结合思想以及运算求解能力]已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2，0)．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，

2、PF

3、＝3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为

4、1，所以S△APF＝×

5、PF

6、×1＝×3×1＝.故选D.2．[2017·全国卷Ⅰ·文12，本题考查了椭圆的标准方程和几何性质，夹角公式，考查了运算求解能力]设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，]∪[4，＋∞)答案　A解析　设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠B

7、MN)＝＝.又tan∠AMB＝tan120°＝－，且由＋＝1可得x2＝3－，则＝＝－.解得

8、y

9、＝.又0<

10、y

11、≤，即0<≤，结合03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞

12、)．故选A.3．[2017·全国卷Ⅱ·文5，本题考查了双曲线的离心率，考查了分析推理能力]若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)A．(，＋∞)B．(，2)C．(1，)D．(1,2)答案　C解析　由题意得双曲线的离心率e＝.∴e2＝＝1＋.∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，∴1

13、C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)A.B．2C．2D．3答案　C解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．联立得方程组解得或∵点M在x轴的上方，∴M(3,2)．∵MN⊥l，∴N(－1,2)．∴

14、NF

15、＝＝4，

16、MF

17、＝

18、MN

19、＝＝4.∴△MNF是边长为4的等边三角形．∴点M到直线NF的距离为2.故选C.5．[2017·全国卷Ⅲ·文11，本题考查了椭圆的几何性质，

20、直线与圆的位置关系，考查了运算求解能力]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，∴e＝＝＝＝　＝.故选A.6．[2017·全国卷Ⅲ·文12，本题考查了函数的零点，函数的性质，考查了函数与方程的思想，运算求解能力]已知函数f

21、(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)A．－B.C.D．1答案　C解析　f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝.故选C.f(x)＝0⇔a(ex－1＋

22、e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C.7．[2017·北京卷·文7，本题以向量知识为背景考查了充要条件，考查了推理论证能力，分类讨论思想]设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的(　　)A．充分而不必要条件B．必