2019_2020学年高中数学周周回馈练5（含解析）新人教A版必修4

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1、周周回馈练一、选择题1．已知a，b满足

2、a

3、＝1，

4、b

5、＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　)A．B．C．D．答案　C解析　设a，b的夹角为θ．因为cosθ＝＝＝，θ∈[0，π]，所以θ＝．故选C．2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝(　　)A．－12B．－6C．6D．12答案　D解析　2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12．3．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1

6、)，c＝(－5，1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为(　　)A．2B．C．D．－答案　B解析　a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，c＝(－5，1)，由(a＋kb)∥c，得(2＋k)×1－(－1＋k)×(－5)＝0，解得k＝，故选B．4．已知a＝(2，4)，则与a垂直的单位向量的坐标是(　　)A．或B．或C．或D．或答案　D解析　设所求向量的坐标为(x，y)，由题意可知，解得或故所求向量的坐标为或．5．已知平面向量a，b，

7、a

8、＝1，

9、b

10、＝，且

11、2a＋b

12、＝，则向量a与向量a＋b的夹角为(　　)A．B．C．D．π答案　

13、B解析　∵

14、2a＋b

15、2＝4

16、a

17、2＋4a·b＋

18、b

19、2＝7，

20、a

21、＝1，

22、b

23、＝，∴4＋4a·b＋3＝7，∴a·b＝0，∴a⊥b．如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA．∵tan∠COA＝＝，∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为．6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足

24、A＋B

25、＝

26、A－B

27、，则点C的轨迹方程是(　　)A．x＋2y－5＝0B．2x－y＝0C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．3x－2y－11＝0答案　C解析　由

28、A＋B

29、＝

30、A－B

31、知A⊥B，所以点C的轨迹是以

32、

33、

34、为直径的圆，圆心为线段AB的中点(1，2)，半径为，故点C的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5．二、填空题7．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)，若λa－2b与a垂直，则实数λ＝________．答案　－1解析　解法一：λa－2b＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)．由于(λa－2b)⊥a⇔(λa－2b)·a＝0，故(λ－4)＋(λ＋6)＝0，得λ＝－1．解法二：由于(λa－2b)⊥a⇔(λa－2b)·a＝0，即λa2＝2a·b，从而λ(1＋1)＝2(1，1)·(2，－3)，即2λ＝－2，故λ＝

35、－1．8．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角为180°，且

36、b

37、＝3，则b＝________．答案　(－3，6)解析　由题意，知a与b共线且方向相反，所以b＝λa(λ<0)．设b＝(x，y)，则(x，y)＝λ(1，－2)，即因为

38、b

39、＝3，所以x2＋y2＝45，即λ2＋4λ2＝45．解得λ＝－3(正值舍去)．所以b＝(－3，6)．9．已知正方形ABCD的边长为2，＝2，＝(＋)，则·＝________．答案　－解析　如图，以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．则B(0，0)，E，

40、D(2，2)．由＝(＋)知F为BC的中点，故＝(－1，－2)．又∵＝，∴·＝－2－＝－．三、解答题10．已知

41、a

42、＝2，

43、b

44、＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)；(4)

45、a＋b

46、．解　(1)a·b＝

47、a

48、

49、b

50、cos120°＝2×3×－＝－3．(2)a2－b2＝

51、a

52、2－

53、b

54、2＝4－9＝－5．(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2

55、a

56、2＋5

57、a

58、

59、b

60、cos120°－3

61、b

62、2＝8－15－27＝－34．(4)

63、a＋b

64、＝＝＝＝．

65、11．如图所示，已知△ABC是边长为3的等边三角形，＝2λ，＝λ<λ<1，过点F作DF⊥BC，交AC边于点D，交BA的延长线于点E．(1)当λ＝时，设＝a，＝b，用向量a，b表示；(2)当λ为可值时，·取得最大值？解　(1)由题意可知＝＝b，＝＝a，故＝－＝－a＋b．(2)由题意知

66、

67、＝3λ，

68、

69、＝3－3λ，

70、

71、＝6λ，

72、

73、＝6λ－3，所以·＝

74、

75、·

76、

77、cosB＝(6λ－3)·(3－3λ)cos60°＝－9λ2＋λ－，又λ∈，1，所以当λ＝－＝时，·取得最大值．12．如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆AB上，

78、∠ACW＝150°，∠BCW＝120°．求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解　设A，B处所受力分别为f1，f2，物体所受的重力用f表示．则f1＋f2＋f＝0．以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则＝－f2，＝－f1，＝f．∠ECW＝180°－150°＝30°，∠FCW＝180°－12