知识点32 洛必达法则求极限

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1、学科：高等数学第三章微分中值定理与导数的应用知识点32洛必达法则求极限相关概念、公式定理或结论●定义**●定理**●结论**考频：5知识点32配套习题例32.1(难度系数0.4)下列极限中能用洛必达法则的有().21xsinxxsinxxsinx(A)lim(B)limx(arctanx)(C)lim(D)lim2x0sinxx2xxsinxxx2111(xsin)'2xsincosxxx1解析：(A)由于limlim，limcos不存在，因此对(A)中x0(sinx)'x0co

2、sxx0x极限不能用洛必达法则.1arctanx21x2(B)由于limx(arctanx)limlim1，极限可用洛必达x2x1x12xx法则求出.(xsinx)'1cosx1cosx(C)由于limlim，而lim不存在，因此(C)中极限不x(xsinx)'x1cosxx1cosx能用洛必达法则求出.2(D)由于limx，而limxsinx不存在，因此(D)中极限也不能用洛必达法xx则求出.故应选(B).注：不能用洛必达法则

3、求出的极限未必就不存在，本例的三个不能用洛必达法则计算的极限可用其他方法计算：21xsinxx1(A)limlimlimxsin100.x0sinxx0sinxx0xsinx1xsinxxxsinxsinx1(C)limlim1.(D)limlimlimsinx0.2xxsinxxsinxxxxxxx1x解：(B).0温馨提示:对于洛必达法则,需要注意“瞻前顾后”，“瞻前”指在用前确认是“0”或“”未定式,不是以上未定式不能用,“顾后”指的是用后极限

4、存在或为,否则失效.21cosx例32.2(难度系数0.2，2004年数学二真题)求lim().22x0sinxx0解析：本题属于求“”型极限，先通分化为“”型极限，再利用等价无穷0小代换与洛必达法则求解即可.2122222xsin2x1cosxxsinxcosx4解：lim()limlim22224x0sinxxx0xsinxx0x12xsin4x21cos4xlimlim32x04xx06x12(4x)24lim.2x06x3arcsinxsinx例32.3(难度

5、系数0.4)求极限lim.x0arctanxtanx0解析：本题属于“”型极限，先利用洛必达法则求解，整理后再利用分式有理0化即可.1cosxarcsinxsinx1x2解：limlimx0arctanxtanxx011221+xcosx222211xcosx(1x)cosx11xcosxlimlimlimx0cos2x1x2x01x2x0sin2xx2222221(1x)cosx11sinxxcosxlimlimlim.x0sin2xx2x

6、011x2cosx2x0sin2xx22sinx2cosx1x21lim22x0sinx212x1xxx例32.4(难度系数0.2)求lim(39).x0vvlnu解析：本题属于“”型极限，通过ue换底，化为“”型极限后利用洛必达法则求解即可.xx11xcln(39)ln(39)lim解：lim(3x9x)x=limex=exx，xxxxxxxxln(39)3ln39ln9329limlimlimln3xxxxxxx39x

7、39x123ln3lim2ln3ln9，xx113xx11xcln(39)ln(39)lim所以lim(3x9x)x=limex=exx=eln99.xx1ln1x例32.5(难度系数0.2)求极限lim.xarccotx0解析：本题属于“”型极限，通过等价无穷小代换和洛必达法则求解即可.0112xx21x解：原式limlimlim1.2xarccotxx1xx21x2n1例32.6(难

8、度系数0.2)求极限limntan.nn解析：将数列极限的问题转化为函数极限的问题，再利用倒代换、重要极限以及洛必达法则求解即可.2x11解：limxtan（倒代换t）xxxtantt1tt3tantt2tantttanttlimlim1（第二个重要极限）t0tt0t