32洛必达法则高数

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1、§3.2洛必达法则主要内容：洛必达法则；重点分析：利用洛必达法则求未定式的极限；洛必达法则的适用条件；难点分析：洛必达法则与其它求极限方法结合使用求极限。一、型及型未定式解法：洛必达法则l定义1如果当时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么极限叫做未定式，并简记为。如重要极限就是型未定式的一个例子。此时“商的极限等于极限之商”法则失效。那其极限如何求？1：型未定式定理1(洛必达法则)：设2）在点的某个去心邻域内，及都存在且；3)存在（或为无穷大），那么。定义2在一定条件下通过分子分母分别求导再求极

2、限来确定未定式值的方法称为洛必达法则。证明：利用柯西中值定理推导。注意:1..若仍属型，且满足定理1条件，则。且可以类推下去，直到求出极限。2.定理1中换为之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立。定理2设：设2)当时，及都存在且；3)存在（或为无穷大），那么。注：定理2中把换成之一，条件2)作相应的修改，定理2仍然成立。例1例1求解：原式=1例2求解：原式注意：上式中的，（因为已不再是不定式，不能对它再用洛必达法则）。在反复应用洛必达法则的过程中，要特别注意验证每次所求的极限是不是未定式，如果不

3、是，就不能应用洛必达法则。又如例3计算。解：。例4计算。解：这是型，若用洛必达法则计算得：。说明：由此认为极限不存在是错误的。因为使用此法则计算极限时，必须有存在（或为无穷大）。显然对于此例这个条件不满足，因此不能用洛必达法则。事实上，注：不存在（或不为无穷大）时，不能用洛必达法则。考虑其他求极限方法计算。例5分析：直接用洛必达法则分子的导数会变得很复杂，可结合无穷小转化为书本例1解：由于，所以(最后的等式利用法则)注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，例如能化简尽可

4、能化简，可以用等价无穷小来替代或可用重要极限时尽可能应用，效果更好.二、型未定式定理3.设1)2)与在内(或时)可导，且3)存在（无穷大）那么.注：定理3中的极限换成单侧极限，定理结论仍然成立。例6求解：原式=1。（无穷小替换）例7求解：（为什么a的范围不需要考虑）？？？？？例8求解：原式说明：n不为正整数的情形结论仍成立，可用夹逼准则证明(文科可不讲)存在正整数k，使当x>1时，，从而.例5求解：原式思考(补充知识)：如何求（n为正整数）(为子列，故极限为1)满足定理条件的某些情况下洛必达法则可能

5、不能解决计算问题，例如，例6计算(型))(先练习后讲解)解：由于不存在，故洛必达失效。事实上，。？？同时由这个例子也说明了的极限不存在，并不能说明的极限也不存在。三、其他未定式：关于的极限的求法：通过恒等变形化为或型，再用洛必达法则。1)2)3)若为:法一：可设，并做恒等变形为。再用洛必达法则计算，则。法二：对两边取对数：化为型未定式。例9求求(型，取倒数)解：原式例10求(型，通分)解：原式＝例8求(型)解：法1：（利用例5）法2：令则由于，所以1例9求解：原式例10求解：取对数得原式练习1、2、

6、3、4、